专题10 数列、等差数列﹑等比数列（命题猜想）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 11页

‎【考向解读】 ‎ ‎1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．‎ ‎2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．‎ ‎3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.‎ ‎【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算 ‎ 例1、【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎ ‎ ‎【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，m＋n＝2p⇒am＋an＝2ap；等比数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒aman＝apaq，m ＋ n ＝ 2p⇒aman＝a.‎ ‎【变式探究】 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由于{an＋1}也是等比数列，所以（a2＋1）2＝（a1＋1）（a3＋1），即a＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以数列{an}是常数数列，所以Sn＝2n.‎ ‎【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．‎ ‎(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列；②等差中项法，即2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；③通项公式法，即an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列；④前n项和公式法，即Sn＝an2＋bn(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即＝q(q为常数且q≠0，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等比数列；②等比中项法，即a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列；③通项公式法，即an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．‎ ‎【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn 为其前n 项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn} 满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎(1) 求an 和Tn.‎ ‎(2) 是否存在正整数 m，n(11，且an，an＋1，an＋2成等差数列（n∈N*）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记bn＝nan，数列的前n项和为Sn，若（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】解：（1）由an，an＋1，an＋2成等差数列，可得an＋an＋2＝an＋1.‎ 又是等比数列，所以an＋q2an＝qan，又因为an≠0，所以2q2－5q＋2＝0，‎ 因为q>1，所以q＝2.‎ 又a1＝2，所以数列的通项公式为an＝2n.‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎ 3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，‎ 必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．‎ ‎3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．‎ ‎6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．‎ ‎7.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎ 8.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和 ‎.‎ ‎9. 【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ ‎10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C