全国大联评2020届高三第一次大联考数学（理）试卷 13页

理科数学 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合和集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，复数，，若为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．若“”为假命题，则“”为假命题 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“若，则”的逆否命题为真命题 D．命题“，”的否定是“，”‎ ‎6．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向左移个单位 B．向左移个单位 ‎ C．向右移个单位 D． 向右移个单位 ‎8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多 面体的侧面最大面的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 设，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数在上恰有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知为的外心，若，则为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 ‎12．过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于、两点，若， 为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知函数是奇函数，且，则 ；‎ ‎14．已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为 ；‎ ‎15．在中，角所对的边为，若，则当取最大值时， ；‎ ‎16．如图，已知三棱锥的四个顶点、、、都在球心的表面上， 是正三角形，是等腰直角三角形， ，若二面角的余弦值为，则球心到平面的距离为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的首项，且、、成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，，//，，为正三角形，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）若四棱锥的体积为，是线段的中点，‎ 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点．‎ ‎（Ⅰ）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．‎ 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表． ‎ 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg）‎ 根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布 ‎.‎ 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．‎ ‎ 已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．‎ ‎（Ⅰ）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；‎ ‎（Ⅱ）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．‎ ‎（参考数据：若，则，，）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，，求证：．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程（为参数），曲线.‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长度建立极坐标系，求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线交于、两点，求值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 数学试卷参考答案 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎ ‎ 【解析】由已知，，则，故选D . ‎ ‎2．【答案】A ‎ ‎ 【解析】由，由为纯虚数，‎ ‎ 则，解得.故选A.‎ ‎3．【答案】C ‎ 【解析】根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为人，故选C．‎ ‎4．【答案】D ‎ 【解析】∵数列是等比数列，，∴．∵与的等差中项为，∴，解得，．∴．故选D．‎ ‎5．【答案】C ‎ 【解析】‎ A. 若“”为假命题，则中至少有一个假命题，则“”可真可假，所以该选项是错误的；‎ B. “”是“”的充分不必要条件，因为由得到“或”，所以该选项是错误的；‎ C. 命题“若则”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；‎ D. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项是错误的.‎ ‎6．【答案】D ‎ ‎ 【解析】直线与轴和轴的交点分别为，，所以，‎ 又，所以，从而，所以椭圆方程为，故选D．‎ ‎7．【答案】B ‎ ‎【解析】∵，所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位．故选B．‎ ‎8．【答案】B ‎ 【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，‎ 故，，，，，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∴该多面体的侧面最大面积为．故选B．‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】；‎ ‎10．【答案】A ‎ 【解析】作出函数的图像，依题意可得，解得． ‎ ‎11.【答案】C ‎ 【解析】设为边的中点，并设角所对应的边分别为，则，‎ 故，所以，从而角为钝角.‎ 所以为钝角三角形．‎ ‎12．【答案】A ‎ ‎ 【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，‎ 设内切圆圆心为，则在平分线上，‎ 过点分别作于，于，‎ 由得四边形为正方形，由焦点到渐近线 的距离为得，又，所以，‎ ‎，所以，‎ 所以，得.‎ 故选A.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 【答案】‎ ‎ 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得．‎ 又，即，所以，解得．‎ 所以，故．‎ ‎14. 【答案】‎ ‎ 【解析】解析由题意知，.由题意知，即.‎ ‎， 其常数项为.‎ ‎15．【答案】‎ ‎ 【解析】在中由余弦定理可得，‎ 所以 ‎，其中，，‎ E D C B A 当取得最大值时，，∴．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】取CD的中点E，连接AE，BE，‎ 由题可得：， ‎ 因为二面角的余弦值为， ‎ 在中，由余弦定理得，∴,‎ 所以，线段为的球直径，故， ‎ 延长BE，过点A作AG垂直于BE的延长线于点G，∴，‎ 所以球心到平面的距离为1．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，依题意有，‎ 即，解得，所以；………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设，‎ 则，………………………9分 ‎∴‎ ‎．………………………………………………12分 ‎18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ z y x ‎【解析】（Ⅰ），且，，‎ 又为正三角形，所以，‎ 又，，所以，又，//，‎ ‎，，所以平面.………4分 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，则，依题可得.以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,则，设,由，，可得，解得，，即。…………………………………8分 所以，又由（Ⅰ）可知，是平面的一个法向量，‎ ‎∴,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………12分 ‎19. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，，则①，②．‎ ‎①－②，得 ．‎ 又因为是线段的中点，所以 所以，． ‎ 又直线过，所以直线的方程为；…………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题设，直线的方程为，即，‎ 亦即，代入抛物线方程并化简得 ．‎ 所以，…………………………………7分 于是，，． ‎ 同理，，．…………………………………9分 易知，所以直线的斜率．‎ 故直线的方程为，‎ 即．此时直线过定点．‎ 故直线恒过定点．…………………………………12分 ‎20. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为 ‎∴，‎ ‎∴（头）；……………2分 同理，，‎ ‎∴（头）；……………4分 ‎，‎ ‎∴（头）.‎ 所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。……………6分 ‎（Ⅱ）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为：‎ 所以（元），‎ 由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为（元）. …………………………………12分 ‎21. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数定义域为 ，‎ 令得，令得，‎ 故在单调递增，在单调递减. ……………4分 ‎（Ⅱ）不妨设，则， ‎ 要证：即证：……（*），‎ 而，令，‎ ‎（*）等价于，……………8分 设，‎ 令∵在恒成立，‎ 则在单调递增，故，故在单调递增，‎ 故，故原命题得证．……………12分 ‎22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得.直线的极坐标方程为.……2分 由，得.‎ 由及.可化为.‎ 所以曲线的极坐标方程为.……………5分 ‎（Ⅱ）将代入，得.‎ 由极坐标几何意义，设, ，不妨设，‎ 则，，‎ 即. ……………10分 ‎23．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解法一：当时，，解得；‎ 当时,，解得；‎ 当时，，解得，‎ 综上,原不等式的解集为或 ； ……………5分 解法二：，两边平方整理得，，解得或，所以，原不等式的解集为或；……………5分 ‎（Ⅱ），当时等号成立，所以 ．‎ 故实数的取值范围为．……………10分