高中数学第一章 §4 数学归纳法 课件 18页

第一章 推理与证明 §4 数学归纳法 举例说明 ： 一个数列的通项公式是： a n = ( n 2 － 5 n +5) 2 请算出 a 1 = ， a 2 = ， a 3 = ， a 4 = 猜测 a n ＝ ? 由于 a 5 ＝ 25 ≠1 ，所以猜测是不正确的 所以由归纳法得到的结论 不一定可靠 1 1 1 1 猜测是否正确呢？ 课题引入 不完全归纳法 如何通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数都成立？ 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？ 多米诺骨牌（ domino ）是一种用木制、骨制或 塑料 制成的长方形 骨牌 。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 先从多米诺骨牌游戏说起 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下： （ 2 ）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（ 2 ）事实上给出了一个递推关系：当第 k 块倒下时，相邻的第 k+1 块也倒下。 思考 ：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ （ 1 ）第一块骨牌倒下 ； （基础） 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 （ 1 ）第一块骨牌倒下。 （ 2 ）若第 k 块倒下时，则相邻的第 k+1 块也倒下。 根据（ 1 ）和 （ 2 ）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 （ 1 ）当 n=1 时猜想成立。 （ 2 ）若当 n=k 时猜想成立， 即 ，则当 n=k+1 时猜想 也成立，即 。 根据（ 1 ）和（ 2 ），可知对任意的正整数 n ，猜想 都成立。 已知数列 数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当 n 取第一个值 n 0 (n 0  N* ) 时命题成立 ( 归纳奠基 ） ； 2. 然后假设当 n=k(k  N* ， k≥n 0 ) 时命题成立， 证明当 n=k+1 时命题也成立 ( 归纳递推 ）。 这种证明方法就叫做 ______________ 。 数学归纳法 验证 n=n 0 时命题成立 若 n=k(k ≥n 0 ) 时命题成立 , 证明 n=k+1 时命题也成立 . 归纳奠基 归纳递推 命题对从 n 0 开始所有的正整数 n 都成立 例 1 、 用数学归纳法证明： 1+3+5+ … +(2n-1) ＝ n 2 (2) 假设 n ＝ k 时，等式成立，即 (1) n ＝ 1 时，左边 =1 ，右边 =1 ，等式成立； 1+3+5+ … +(2k-1) ＝ k 2 那么当 n ＝ k+1 时， ∴ 由①、② 可知对任何 n∈N* 时，等式都成立 需要证明的式子是 ? 1+3+5+ … +(2k-1)+ （ 2k+1 ） ＝ k 2 + （ 2k+1 ）＝（ k+1 ） 2 这就是说，当 n = k +1 时，等式也成立 同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列的前 n 项和公式 . 具体详解请同学们看本节教材例 1 . 数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明 情境 1 中的猜想 的步骤为： (1) 证明当 n=1 时猜想成立 (2) 证明若当 n=k 时命题成立，则 n=k+1 时命题也成立 . 完成了这两个步骤以后就可以证明 上述猜想 对于所有的正整数 n 都是成立的。 相当于第一张牌能倒下 相当于使所有骨牌倒下的第 2 个条件 证明 ①当 n=1 时，左边＝ 1 ＝右边 , 等式显然成立。 例 2 证明： 递推基础 递推依据 ② 假设当 n=k 时等式成立，即 那么 , 当 n=k+1 时，有 这就是说，当 n=k+1 时 , 等式也成立。 根据①和②，可知对任何 n N * 等式都成立。 证明 ： （ 1 ） 当 n =1 时 ， 等式是成立的 （ 2 ） 假设当 n=k 时等式成立，就是 那么 这就是说，当 n = k +1 时，等式也成立 由（ 1 ）和（ 2 ），可知等式对任何 都成立 如果 是等差数列，已知首项为 公差为 ，那么 对一切 都成立 练习 1 试用数学归纳法证明 点评： 利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意三句话： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 证明 ①当 n=1 时，左边＝ 1 ＝右边 , 等式显然成立。 练习 2. （ 1 ） 用数学归纳法证明： ② 假设当 n=k 时等式成立，即 那么 , 当 n=k+1 时，有 这就是说，当 n=k+1 时 , 等式也成立。 根据①和②，可知对任何 n N * 等式都成立。 证明 ①当 n=1 时，左边＝ 1 ＝右边 , 等式显然成立。 练习 2. （ 2 ） 用数学归纳法证明： ② 假设当 n=k 时等式成立，即 那么 , 当 n=k+1 时，有 这就是说，当 n=k+1 时 , 等式也成立。 根据①和②，可知对任何 n N * 等式都成立。 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是： （ 1 ） 证明当 取第一个值 （如 或 2 等）时命题成立 递推基础 （ 2 ） 假设 时 命题成立 证明 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从 n 0 开始 的 所有正整数 n 都成立 1. 数学归纳法 适用范围 : 仅限于与正整数有关的数学命题 3. 数学归纳法 优点 ：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论 不可靠 的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。 课堂小结 另外一定要注意：用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是 递推的 基础 ，第二步是 递推的 依 据 。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。