高考数学【理科】真题分类详细解析版专题19 坐标系与参数方程（解析版） 20页

专题19 坐标系与参数方程 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）因为，消去参数，得，即 ‎，‎ 故极坐标方程为；‎ ‎（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点，Q都在曲线C：（β为参数）上，对应参数分别为β=α 与α=2π（0＜α＜2π），M为PQ的中点。‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程 ‎（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意有,, ,‎ ‎（2013·陕西理）C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .‎ ‎【答案】,,‎ ‎【解析】以（,0）为圆心，为半径，且过原点的圆它的标准参数方程为，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数,则 所以 。 所以所求圆的参数方程为,,‎ ‎【学科网考点定位】本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。‎ ‎（2013·江西理）15（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【学科网考点定位】该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系.‎ ‎（2013·广东理）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.‎ ‎（2013·福建理）(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A在直线上。‎ ‎ （Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.‎ 问题也属于必得分题目。‎ ‎【学科网考点定位】本题主要考查坐标间的互化以及圆的参数方程的基本内容，属于简单题。‎ ‎（2013·辽宁理）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎【答案】（I）圆的直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为 应用 ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·天津卷）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.‎ ‎【答案】2　【解析】 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．‎ 将参数方程 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且F，E，‎ 又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3＋＝，解之得 p＝±2(负值舍去)，即p＝2.‎ ‎（2012·上海卷）如图1－1所示，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝，若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.‎ 图1－1‎ ‎（2012·陕西卷]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．‎ ‎【答案】 　【解析】 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.‎ ‎（2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy.圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【答案】解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，‎ 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.‎ 解得ρ＝2，θ＝±.‎ 故圆C1与圆C2交点的坐标为，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)(解法一)‎ 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．‎ ‎（2012·课标全国卷]已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)由已知可得 A2cos，2sin，‎ B2cos＋,2sin＋，‎ C2cos＋π,2sin＋π，‎ D2cos＋,2sin＋，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16‎ ‎＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．‎ ‎（2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎（2012·湖南卷）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.‎ ‎【答案】　【解析】 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易．‎ 曲线C1： (t为参数)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲线C2的普通方程是＋＝1，两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，代入曲线C2，得＋＝1，解得a＝.‎ ‎（2012·湖北卷]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．‎ ‎（2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【答案】解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，‎ 又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交．‎ ‎（2012·安徽卷）在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．‎ ‎【答案】　【解析】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．‎ ‎（2012·北京卷）直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．‎ ‎（2012·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ ‎【答案】(1,1)　【解析】 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C1的直角坐标方程为：y2＝x(x≥0)，C2的直角坐标方程为：x2＋y2＝2，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)．‎ 图1－3‎ ‎（2012·江西卷）(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．‎ ‎ (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．‎ ‎（2012浙江卷]‎ 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同两点A，B.‎ ‎(1)若α＝，求线段AB中点M的坐标；‎ ‎(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.将曲线C的参数方程化为普通方程＋y2＝1.‎ ‎(1)当α＝时，设点M对应参数为t0.‎ ‎＋4cosα)t＋12＝0，‎ 因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7.‎ 得tan2α＝.‎ 由于Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0，故tanα＝.‎ 所以直线l的斜率为.‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎ 1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的的焦点，且与圆相切，则=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知抛物线的方程为,因为相切,所以容易得出结果.‎ ‎2. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 . ‎ ‎【解析】（0≤q 消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为 联立两个曲线的普通方程得 ,所以它们的交点坐标为 ‎3. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系Oy所在的平面为，直角坐标系Oy (其中轴与y轴重合)所在平面为，.[来 ‎(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为 ；‎ ‎(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影C的方程是 .‎ ‎4.(2011年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 为参数）和曲线上，则的最小值为 ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为.‎ ‎5.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。[来源:Z|xx|k.Com]‎ 解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（‎ 为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：.‎ ‎6.(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ‎．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ 解析：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。‎ 因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，‎ 所以点P在直线上，‎ ‎（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，‎ 从而点Q到直线的距离为 ‎，‎ 由此得，当时，d取得最小值，且最小值为 ‎ ‎ ‎【2010高考真题】‎ ‎1．（2010年高考安徽卷理科7）设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为 A、1 B、‎2 ‎C、3 D、4‎ ‎2．（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是 ‎（A）两个圆 （B）两条直线 ‎（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 ‎【答案】C ‎【解析】原方程等价于或，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。‎ ‎3. (2010年高考重庆市理科8) 直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为 ‎（A） π （B） π （C） π （D） π ‎【答案】C ‎【解析】数形结合 ‎ ‎ 由圆的性质可知 故.‎ ‎4.(2010年高考天津卷理科13)已知圆C的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆C与直线相切。则圆C的方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令y=0得t=-1，所以直线（为参数）与轴的交点为（-1，0），因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，故圆C的方程为。‎ ‎5．（2010年高考广东卷理科15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点（-1，1）的极坐标为．‎ ‎6．（2010年高考陕西卷理科15）(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程(为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,则直线与圆的交点的直角坐标为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为 ‎7．(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎【解析】解　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，‎ 即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以所以t1>0，t2>0.‎ 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎8．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ ‎9. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C1（t为参数），C2（为参数），‎ ‎（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为 ‎。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。‎ ‎ ‎ ‎【2009高考真题】‎ ‎1．（2009广东卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎【解析】，得.‎ ‎【答案】-1‎ ‎2.（2009宁夏、海南）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。‎ ‎ 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 ‎ （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【2008年高考真题】‎ ‎1．（2008广东）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。‎ ‎2．（2008宁夏、海南）选修4－4；坐标系与参数方程 已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．‎ ‎：（为参数）； ：（t为参数）．‎ 的最大值．‎ ‎【解析】解： 因椭圆的参数方程为 ‎ 故可设动点的坐标为，其中.‎