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- 2021-06-24 发布
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核心素养测评四十八 空间直角坐标系、空间向量及其运算
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k= ( )
A.2 B. 4 C.-2 D.-4
【解析】选B.因为α∥β,所以两个平面的法向量也平行,所以=,即k=4.
2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为 ( )
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(0,0,-3)
【解析】选C.设P(0,0,z),
则有
=,解得z=3.
3.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b =0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cos θ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,所以cos θ=-,所以θ=120°.
4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是 ( )
A.=2-2-
B. =++
C.+=3-
D.+=4+
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【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1, 所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.
5.在空间四边形ABCD中,·+·+· = ( )
A.-1 B.0 C.1 D.不确定
【解析】选B.如图,令 =a,=b,=c,
则·+· +·
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,
所以· =0, ·=0, ·=0.
所以 ·+·+·=0.
6.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为
( )
A. B. C.4 D.8
【解析】选B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cos θ==
=,
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所以sin θ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为
S=2××|a|×|b|×=.
7.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是
( )
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
【解析】选B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
因为p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
所以p=4a+2b+3c,②
由①②得所以
即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________________.
【解析】因为a∥b,所以==,
解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,
即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).
答案:(3,-2,2)
9.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________________.
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【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E1,1,.
所以=(0,0,a),=-1,1,.
由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).
答案:(1,1,1)
10.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则CD的长为________________.
【解析】设=a,=b,=c,
由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,
=90°,=90°,=60°,
||2=|++|2=|-c+b+a|2
=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,
则||=2.
答案:2 cm
(15分钟 35分)
1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于 ( )
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A. B.3 C.3 D.2
【解析】选B.-+=-(-)==3.
2.(5分)已知非零向量与满足 +·=0且· =, 则△ABC为 ( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
【解析】选D.由 +·=0知:∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形;由· =知∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.
3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________________.
【解析】设=a,=b,=c,由A1B⊥AC1⇔·=0⇔(b-a+c)(-c-a)=0,
所以a·b=|a|2-| c|2,①
由A1B⊥B1C⇔·=0⇔(b-a+c)( c-b)=0,所以a·b=| b|2-| c|2,②
由B1C1=A1C1得| a|2=|b|2,③
由①②③不难看出①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.
答案:①②⇒③(或①③⇒②;②③⇒①)
4.(10分)如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
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(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD.
(2)求MN的长.
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
【解析】(1)设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-
=(q+r-p),
所以·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.
所以⊥.即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知=(q+r-p),
所以||2=(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
==×2a2=.
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所以||=a.所以MN的长为a.
(3)设向量与的夹角为θ.
因为=(+)=(q+r),
=-=q-p,
所以·=(q+r)·
=
=
==.
又因为||=||=a,
所以·=||||cos θ=a×a×cos θ=.所以cos θ=.
所以向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
【误区警示】直线所成角的范围是.
5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
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(1)写出点E,F的坐标.
(2)求证:A1F⊥C1E.
(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.
【解析】(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).
(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),
所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),
所以·=-ax+a(x-a)+a2=0,
所以⊥,所以A1F⊥C1E.
(3)因为A1,E,F,C1四点共面,
所以,,共面.
选与为在平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,
即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)
=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),
所以解得λ1=,λ2=1.
于是=+.
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