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- 2021-06-24 发布
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河南省信阳市商城县上石桥高中2019-2020学年
高二下学期期中考试数学(理)试卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.已知,则的最小值为( )
A.2 B.1 C.4 D.3
2.若f(x)=x2-2x-4lnx,则>0的解集为( )
A.(0,+∞) B. C.(-1,0) D.(2,+∞)
3.若命题,则命题的否定为( )
A. B.
C. D.
4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱C1D1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知,均为实数,则下列说法一定成立的是( )
A.若,,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
8.的值为( )
A. B. C. D.
9.已知m是直线,α,β是两个不同平面,且m∥α,则m⊥β是α⊥β的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点,且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点,若是正三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱AB的中点,F是侧面AA1D1D内一点,若EF∥平面BB1D1D,则EF长度的范围为( )
A. B. C. D.
12.函数在上有两个零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.设满足约束条件,则的最小值为_______.
14.设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是____.
15.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=____________.
16.已知是函数的切线,则的最小值为______.
三、 解答题(前两题每题各8分,后三题每题各12分,共52分)
17.已知数列为等差数列,公差,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
18.在四棱锥中,平面平面,为等边三角形,,,,点是的中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)求二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
19.已知函数,导函数为 ,已知.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的最值.
20. 己知椭圆的一个顶点坐标为,离心率为,直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点,当的面积为时,求实数的值.
21.已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取范围.
参考答案
1.C2.C3.D4.D5.C6.D7.D8.A9.A10.C11.C12.B
取
设,,在上单调递增,上单调递减
画出函数图像:
根据图像知:
13. 14. 15.. 16.
16.根据题意,直线y=kx+b与函数f(x)=lnx+x相切,设切点为(m,lnm+m),
函数f(x)=lnx+x,其导数f′(x)1,则f′(m)1,
则切线的方程为:y﹣(lnm+m)=(1)(x﹣m),变形可得y=(1)x+lnm﹣1,
又由切线的方程为y=kx+b,
则k1,b=lnm﹣1,
则2k+b2+lnm﹣1=lnm1,
设g(m)=lnm1,其导数g′(m),
在区间(0,2)上,g′(m)<0,则g(m)=lnm1为减函数,
在(2,+∞)上,g′(m)>0,则g(m)=lnm1为增函数,
则g(m)min=g(2)=ln2+2,即2k+b的最小值为ln2+2;
故答案为ln2+2.
17.(1);(2)
(1)由题意可知,,.
又,,,,,
.故数列的通项公式为.
(2)由(1)可知, ,
.
18.(1)证明见解析;(2).
证明:(1)取中点,连结,.
因为为中点,所以,.
因为,.所以且.
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)取中点,连结.
因为,所以.
因为平面平面,
平面平面,平面,
所以平面.取中点,连结,则.
以为原点,如图建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
,.
平面的法向量,
设平面的法向量,
由,得.
令,则,.
由图可知,二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
19(Ⅰ)4;(Ⅱ)最大值为,最小值为.
解: (I) ,
,
(II) 由(I)可得:,
令,解得,列出表格如下:
极大值
极小值
又
所以函数在区间上的最大值为,最小值为
20.(Ⅰ):y2=1;(Ⅱ)m
(Ⅰ)由题意知:,,则
椭圆的方程为:
(Ⅱ)设,
联立得:
,解得:
,
又点到直线的距离为:
,解得:
21.(1) 若,在上单调递增;若,在上单调递增,在上单调递减;(2)
试题解析:(1)的定义域为,,
若,则恒成立,∴在上单调递增;
若,则由,
当时,;当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减.
综上可知:若,在上单调递增;
若,在上单调递增,在上单调递减.
(2),
令,,
,令,
①若,,在上单调递增,
,
∴在上单调递增,,
从而不符合题意.
②若,当,,
∴在上单调递增,
从而,
∴在上单调递增,,
从而不符合题意.……………………10分
③若,在上恒成立,
∴在上单调递减,,
∴在上单调递减,,
综上所述,a的取值范围是.