2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第七章　1 第1讲　不等关系与不等式 13页

知识点 最新考纲 不等关系与不等式 了解不等关系，掌握不等式的基本性质.‎ 一元二次不等式及其解法 了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.‎ 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.‎ 基本不等式 ≤(a，b＞0)‎ 掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其应用.‎ 绝对值不等式 ‎ 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．‎ ‎ 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ 第1讲　不等关系与不等式 ‎1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0，0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)‎ ‎(5)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)‎ ‎(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　　‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选A.－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0⇒/ －>0.‎ ‎2．(必修5P75A组T2改编)______(填“>”“<”或“＝”)．‎ 解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.‎ 答案：<‎ ‎3．(必修5P75B组T1改编)若0b>0，c0 B.－<0‎ C.> D.< 解析：选D.因为cac，‎ 又因为cd>0，所以>，即>.‎ ‎2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．‎ 解析：若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．‎ 答案：充分不必要 ‎3．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．‎ 解析：由－<α<，－<－β<，α<β，‎ 得－π<α－β<0.‎ 答案：(－π，0)‎ ‎　　　　　　　用不等式(组)表示不等关系 ‎ 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．‎ ‎【解】　设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y，则由题意可知 用不等式(组)表示不等关系 ‎(1)分析题中有哪些未知量．‎ ‎(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x或x，y，再用x或x，y来表示其他未知量．‎ ‎(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．‎ ‎[提醒]　在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．　 ‎ ‎　某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．‎ 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，‎ 则即 ‎　　　　　　不等式的性质及应用(高频考点)‎ 不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：‎ ‎(1)判断命题的真假；‎ ‎(2)与充要条件相结合命题的判断；‎ ‎(3)求代数式的取值范围．‎ 角度一　判断命题的真假 ‎ (1)设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)‎ A．ac>bc　　　　　 　　　 B.< C．a2>b2 D．a3>b3‎ ‎(2)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d ‎【解析】　(1)A项，c≤0时，由a>b不能得到ac>bc，故不正确；‎ B项，当a>0，b<0(如a＝1，b＝－2)时，由a>b不能得到<，故不正确；‎ C项，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)及a>b可知当a＋b<0时(如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3)均不能得到a2>b2，故不正确；‎ D项，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·，因为＋b2 >0，所以可由a>b知a3－b3>0，即a3>b3，故正确．‎ ‎(2)A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c<0时，ac>bc⇒a0，所以ab”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分又不必要条件 ‎【解析】　(1)(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即ab⇔a|a|>b|b|；‎ 当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；‎ 当b>0时，由a>b有|a|>|b|，‎ 所以a>b⇔a|a|>b|b|.‎ 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C 角度三　求代数式的取值范围 ‎ (2020·台州高三模拟)若α，β满足则α＋3β的取值范围为________．‎ ‎【解析】　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.‎ 则解得 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，‎ 两式相加，得1≤α＋3β≤7.‎ 所以α＋3β的取值范围是[1，7]．‎ ‎【答案】　[1，7]‎ ‎(1)判断不等式命题真假的方法 ‎①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．‎ ‎②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．‎ ‎(2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解．‎ ‎(3)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．　 ‎ ‎　已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则的取值范围是________．‎ 解析：因为b＋c≤2a，c＋a≤2b，c＞a－b，c＞b－a，‎ 所以问题等价于不等式组有解，‎ 所以⇒＜＜，‎ 即的取值范围是.‎ 答案： ‎　　　　　　比较两个数(式)的大小 ‎ (1)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2；‎ ‎(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．‎ ‎【解】　(1)证明：因为1－x＋x2－x3＝＝，由于x∈[0，1]，有≤，‎ 即1－x＋x2－x3≤，‎ 所以f(x)≥1－x＋x2.‎ ‎(2)因为a＝＞0，b＝＞0，‎ 所以＝·＝＝＝log8 9＞1，所以a＞b.‎ ‎　 ‎ ‎1．设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为(　　)‎ A．m>n B．m0，b>0)两个代数式的大小．‎ 解：因为＋－(a＋b)＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ 又因为a>0，b>0，所以≥0，‎ 故＋≥a＋b.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·嘉兴期中)若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是(　　)‎ A．m－y＞n－x　　　　　　 B．xm＞yn C.＞ D．x－m＞y－n 解析：选A.对于B，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，‎ 对于C，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，‎ 因为x＞y，m＞n，所以x＋m＞y＋n，所以m－y＞n－x.A正确，‎ 易知D不成立，故选A.‎ ‎2．(2020·义乌质检)设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(0，π) D. 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤≤，‎ 所以－≤－≤0，所以－<2α－<π.‎ ‎3．设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x＋y＜1＋xy，那么x，y的取值范围是(　　)‎ A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1‎ C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1‎ 解析：选C.⇒又x＋y＜1＋xy，所以1＋xy－x－y＞0，即(x－1)(y－1)＞0，‎ 所以或(舍去)，所以 ‎4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是(　　)‎ A．若|a|＜b，则a2＞b2‎ B．若|a|＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞b，则a2＞b2‎ D．若a＞|b|，则a2＞b2‎ 解析：选D.若|a|＜b，则a2＜b2，故A错误；若a＝b＜0，则|a|＞b，则a2＝b2，故B错误；‎ 若－a＝b＜0，则a＞b，则a2＝b2，故C错误；‎ 若a＞|b|，则a2＞b2，故D正确．故选D.‎ ‎5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2‎ B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ 解析：选C.当c＝0时，可知A不正确；当c＜0时，可知B不正确；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，C正确；当a＜0且b＜0时，可知D不正确．‎ ‎6．已知实数a，b，c.(　　)‎ A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100‎ B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100‎ C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100‎ D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100‎ 解析：选D.取a＝10，b＝10，c＝－110，可排除选项A；取a＝10，b＝－100，c＝0，可排除选项B；取a＝10，b＝－10，c＝0，可排除选项C.故选D.‎ ‎7．(2020·严州模拟)若a10，‎ 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.‎ 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1‎ ‎8．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．‎ 解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，‎ 即＜；若ab＞0，则＞.‎ 所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.‎ 答案：a＜0＜b ‎9．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．‎ 解析：矩形靠墙的一边长为x m，则另一边长为 m，即 m，根据题意知 答案： ‎10．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ 解析：因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．‎ 由得 所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又 所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，‎ 即f(－2)的取值范围是[6，10]．‎ 答案：[6，10]‎ ‎11．(2020·嘉兴期中)已知a，b是正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．‎ 解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)‎ ‎＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)‎ ‎＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，‎ 因为a≠b，a＞0，b＞0，‎ 所以(a－b)2(a＋b)＞0，‎ 所以a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ ‎12．已知a＞b＞0，m＞0且m≠a.试比较：与的大小．‎ 解：－＝＝.‎ 因为a>b>0，m>0.‎ 所以a－b>0，m(a－b)>0.‎ ‎(1)当a>m时，a(a－m)>0，‎ 所以>0，‎ 即－>0，‎ 故>.‎ ‎(2)当a0且a≠1，则“ab>1”是“(a－1)b>0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由ab>1⇒或由(a－1)b>0⇒或又a>0且a≠1，所以“ab>1”是“(a－1)b>0”的充要条件．‎ ‎2．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a＋<a>ab，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：因为ab2>a>ab，‎ 所以a≠0，‎ 当a>0时，b2>1>b，‎ 即解得b<－1；‎ 当a<0时，b2<15时，y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．‎ ‎6．设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值．‎ 解：原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立，‎ 设A＝，‎ A2＝＝1＋≤2，‎ 当x＝y时等号成立，因为A＞0，‎ 所以0＜A≤ ，即A有最大值.‎ 所以当a≥ 时，＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立．‎ 所以a的最小值为.‎