2020届二轮复习二项式定理课时作业（全国通用） 13页

二项式定理 【例1】 的展开式中的第四项是 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年四川高考 ‎【解析】，∴，‎ 的展开式中的第四项是：‎ ‎【答案】‎ 【例2】 ‎ 的展开式中，的系数等于_ ___．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018，安徽高考 ‎【解析】略；‎ ‎【答案】15；‎ 【例3】 若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年丰台一模 ‎【解析】，四个选项中只有满足．‎ ‎【答案】A；‎ 【例4】 的展开式中项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，东城一模 ‎【解析】所求系数为．‎ ‎【答案】A；‎ 【例1】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将多项市看作，通项公式为，‎ 只能取0或1，不难算出的系数为 ‎．‎ 本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：‎ ‎①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；‎ ‎②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为 因此的系数为1360．‎ ‎【答案】1360；‎ 【例2】 在的展开式中，项的系数是　　　　．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖南高考 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，则只需要求中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】35；‎ 【例3】 在展开式中，系数为有理数的项共有 项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】略 ‎【答案】6；‎ 【例1】 的展开式中共有_____项是有理项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开式的第项为，‎ 要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，‎ 又，故，共有项．‎ ‎【答案】17；‎ 【例2】 二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，石景山一模 ‎【解析】通项公式，时，可得常数项；‎ 令即可得各项系数和为．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，‎ 则，‎ 即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．‎ ‎【答案】7；‎ 【例1】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，辽宁高考 ‎【解析】的通项公式为．‎ 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．‎ 所以被4除只能余1．当时，．‎ ‎【答案】5；‎ 【例2】 求展开式中的常数项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ ‎．‎ 由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为．‎ 【例3】 求二项式的展开式中：‎ ‎⑴常数项；‎ ‎⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；‎ ‎⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】展开式的通项为：．‎ ‎⑴设项为常数项，则，得，即常数项为；‎ ‎⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，‎ 又∵，∴可取，，三个数，‎ 故共有个有理项．‎ ‎⑶为非负整数，得或，‎ ‎∴有两个整式项．‎ 【例1】 的展开式中共有_______项是有理项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开式的第项为，‎ 要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，‎ 又，故，共有项．‎ ‎【答案】17；‎ 【例2】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试 ‎【解析】B；于是可取3，9，‎ 则，‎ ‎【答案】B；‎ 【例3】 关于二项式有下列命题：‎ ‎①该二项展开式中非常数项的系数和是：‎ ‎②该二项展开式中第六项为；‎ ‎③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；‎ ‎④当时，除以的余数是．‎ 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】二项式所有项的系数和为，其常数项为，非常数项的系数和是，‎ 得①正确；‎ 二项展开式的第六项为，即得②错误；‎ 二项展开式中系数绝对值最大的项为第项（系数为）与第项（系数为），得系数最大的项是第项，即③错误；‎ 当时，除以的余数是，即④正确．故应填①④．‎ ‎【答案】①④；‎ 【例1】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 　 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北省八校第二次联考 ‎【解析】1；易知为整数，于是的小数部分 与的小数部分相同，而，于是则 ‎．‎ ‎【答案】1；‎ 【例2】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】通项公式为．设第项的系数为 当时，将已知条件代入得：，‎ 由已知，可知，即，第5项为常数项．‎ 若系数最大，则，化简可得．‎ 将代入，可得 ‎【答案】‎ 【例1】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】或；由已知可得，即得，‎ 二项式系数最大的一项为，解得，又，∴或．‎ ‎【答案】或 【例2】 展开式中不含的项的系数和为 A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例3】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）‎ A． B．150 C． D．500‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，北京丰台一模 ‎【解析】求的展开式的各项系数之和令，而二项式系数之和为，‎ 则可以转化为得即．然后利用通项来求解．答案： B ‎【答案】B；‎ 【例4】 已知，求．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】由展开式知：均为负，均为正，‎ ‎∴‎ 令，则所求式子为．‎ ‎【答案】‎ 【例1】 已知．‎ ‎⑴当时，求的值；‎ ‎⑵设．‎ 试用数学归纳法证明：当时，．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】4‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】2009年，南京1模 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴当时，‎ 原等式变为．‎ 令得．‎ ‎⑵因为，所以．‎ 所以（）．‎ ‎①当时，左边，右边，左边右边，等式成立．‎ ‎②假设当时，等式成立，即，‎ 那么，当时，‎ 左边右边．‎ 故当时，等式成立．‎ 综合①②，当时，．‎ 【例2】 请先阅读：在等式的两边求导得，‎ 由求导法则得，化简得．‎ ‎⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；‎ ‎⑵对于整数，求证：．‎ ‎⑶对于整数，求证①；②．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】4‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，江苏高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴在等式两边对求导，得 ‎．‎ 移项得（）‎ ‎⑵在（）式中，令得，，，‎ 整理得．‎ ‎⑶①由⑴知，．‎ 两边对求导，得．‎ 在上式中，令，得，‎ 即，亦即．‎ 又由⑵知，上面两式相加，得．‎ ‎②将等式两边在上对积分，‎ ‎．‎ 由微积分基本定理，得，‎ 故．‎ 【例1】 利用二项式定理证明：是64的倍数．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，‎ 为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．‎ ‎∵‎ 是64的倍数．‎ 【例1】 的末尾连续零的个数是（ ）‎ A．7 B．5 C．3 D．2‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】‎ 上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以的末尾连续零的个数是3．故选C．‎ ‎【答案】C 【例2】 ‎，求证：．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】显然时，原不等式成立．‎ 时，将原不等式变为 设，则，于是：‎ ‎．‎ 【例3】 已知是正整数，且，⑴证明；⑵证明．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴对于，有，‎ 同理，‎ 由于，故对整数，有，‎ 所以，即．‎ ‎⑵由二项式定理得：，，‎ 由⑴知（），‎ 而，，所以．因此．‎ 又，（）．‎ ‎∴，即．‎ 【例1】 已知函数满足（），，并且使成立的实数有且只有一个．‎ ‎⑴求的解析式；‎ ‎⑵若数列的前项和为，满足，当时，，‎ 求数列的通项公式．‎ ‎⑶在⑵的条件下，令（），‎ 求证：当时，有．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴令，由得．‎ 即只有一根，又，故．‎ 联立解得，，则，．‎ ‎⑵当时，，∴．‎ ‎∵当时，，∴．‎ 当时，，则（），‎ 两式相减得（），‎ ‎∴，即，‎ 从而数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴，∴．‎ ‎⑶∵，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴．‎ 当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 【例1】 设，，，将的最小值记为，则，，，，…，，…其中 ．‎ ‎【考点】二项式定理的应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 【例2】 由等式 ‎，定义映射，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二项式定理的应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】D；由二项式定理，容易有 当时，‎ 解得．于是答案为D．‎ ‎【答案】D；‎