高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：3-3-1 4页

‎3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题 ‎3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域 双基达标　(限时20分钟) ‎1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是 (　　)．‎ A．(0,0) B．(1,1) C．(0,2) D．(2,0)‎ 解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.‎ 答案　D ‎2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)．‎ A．(－24,7) B．(－7,24)‎ C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)‎ 解析　因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.‎ 答案　C ‎4．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．‎ 解析　如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可 ‎ 用两点式或点斜式写出)．‎ 直线AC的方程为2x＋y－5＝0，‎ 直线BC的方程为x－y＋2＝0，‎ 把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，‎ ‎∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.‎ ‎∴同理可得△ABC区域(含边界)为 答案　 ‎5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．‎ 解析　不等式组表示的平面区域如图中 ‎ 的阴影部分所示，用平行于x轴的直线截该平面区域，若 ‎ 得到一个三角形，则a的取值范围是5≤a<7.‎ 答案　[5,7)‎ ‎6．(1)画出不等式组表示的平面区域；‎ ‎(2)画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．‎ 解　(1)不等式组表示的平面区域如图(1)中阴影部分所示．‎ ‎(2)不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组或 而不等式组无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是 (　　)．‎ 解析　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.‎ 答案　C ‎8．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以 求得点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(0,4)，.‎ 由直线y＝kx＋恒过点C，且平面区域被此直线分为 面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y＝kx＋与直线 ‎ ‎3x＋y＝4的交点D的横坐标为点A的横坐标的一半时，可满足要求．因此xD＝，代入 直线3x＋y＝4，可得yD＝，故点D的坐标为，代入直线y＝kx＋，即＝k×＋‎ ，解得k＝，故选A.‎ 答案　A ‎9．不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积为________．‎ 解析　原不等式等价于 其表示的平面区域如图中阴影部分．‎ ‎∴S＝()2＝2.‎ 答案　2‎ ‎10．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________．‎ 解析　由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎11．求不等式组表示的平面区域的面积．‎ 解　不等式组等价于①或②‎ 分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现不 ‎ 等式组①表示一个点A，不等式组②表示的平面区域如图所 ‎ 示．‎ 因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，‎ 其中点A(0,1)，B(－2,3)，C(－2，－1)，‎ 于是平面区域的面积为×2×|3－(－1)|＝4.‎ ‎12．(创新拓展)设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0‎ 交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．‎ 解　∵M，N关于直线x＋y＝0对称，‎ ‎∴直线y＝kx＋1垂直于直线x＋y＝0，‎ ‎∴k＝1，‎ ‎∴圆心在x＋y＝0上，‎ ‎∴－－＝0，即m＝－1，‎ ‎∴原不等式组为 作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO.‎ 易得△ABO为等腰直角三角形，且OA＝1，故阴影部分的面积为.‎