高一数学同步测试(1) 6页

高一数学单元测试（1） 第四章：三角函数 第一阶段：任意角的三角函数 一选择题：（5 分×12=60 分） 1．下列叙述正确的是( ) A．180°的角是第二象限的角 B．第二象限的角必大于第一象限的角 C．终边相同的角必相等 D．终边相同的角的同名三角函数值相等 2．已知点 P(tanα ,cosα )在第三象限,则角α 的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在△ABC 中，“A＞30°”是“sinA＞1 2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 sinα ＞sinβ ，则下列命题成立的是( ) A．若α .β 是第一象限角，则 cosα ＞cosβ ． B．若α .β 是第二象限角，则 tanα ＞tanβ ． C．若α .β 是第三象限角，则 cosα ＞cosβ ． D．若α .β 是第四象限角，则 tanα ＞tanβ ． 5．以下四种化简过程,其中正确的个数是( ) ①．sin(360°+220°)=sin220°； ②．sin(180°-220°)= - sin220°； ③．sin(180°+220°)= sin220； ④．sin(-220°)= sin220 A．1 B．2 C．3 D．4 6．cot(α －4π )·cos(α ＋π )·sin2(α －3π ) tan(π ＋α )·cos3(－α －π ) 的结果是( ) A．1 B．0 C．－1 D．1 2 7．设 sin123°＝a，则 tan123°＝( ) A． 1－a2 a B． a 1－a2 C． 1－a2 1－a2 D．a 1－a2 a2－1 8．α 为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且 cosα ＝ 2 4 x，则 x 值为( ) A． 3 B．± 3 C．－ 3 D．－ 2 9．在△ABC 中,下列表达式为常数的是( ) A．sin(A+B)+sinC； B．sin(B+C)-cosA； C．sin2(A+C)+cos2B； D．tanC-tan(A+B)． 10．已知以下四个函数值：①sin(nπ ＋π 3 )，②sin(2nπ ±π 3 )，③sin[nπ ＋(－1)nπ 3 ]，④ cos[2nπ ＋(－1)nπ 6 ]，其中 n∈Z，与 sinπ 3 的值相同的是( ) A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 11．已知集合 A＝{x|x＝cosnπ 3 ，n∈Z}，B＝{x|x＝sin(2n－3)π 6 ，n∈Z}，则( ) A．B ≠ A B．A≠ B C．A＝B D．A∩B＝φ 12．若α 满足sinα －2cosα sinα ＋3cosα ＝2，则 sinα ·cosα 的值等于( ) A． 8 65 B．－ 8 65 C．± 8 65 D．以上都不对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题：（4 分×4=16 分） 13．tan300°+cot765°=＿＿＿＿＿． 14．函数 y＝|sinx| sinx ＋ cosx |cosx|＋|tanx| tanx ＋ cotx |cotx|的值域为＿＿＿＿＿＿． 15．已知 cos(75°＋α )＝1 3，其中α 为第三象限角，则 cos(105°－α )＋sin(α －105°) ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．已知 sinθ －cosθ ＝1 2，则 sin3θ －cos3θ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题：（74 分） 17．（10 分）化简: 1-cos4α -sin4α 1- cos6α -sin6α ． 18．（12 分）已知扇形的周长为 L，问当扇形的圆心角α 和半径 R 各取何值时，扇形面 积最大？ 19．（12 分）已知 cosα ＝m，(|m|≤1)，求 sinα ，tanα 的值． 20．(12 分)证明: 已知 sin2α +5sinα -4sinα cosα -20cosα =0,求下列各式的值． (1) 4sinα -6cosα 3cosα -2sinα ; (2) sin2α -3sinα cosα +9cos2α 21．（14 分）已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根为 sinθ 和 cosθ ，θ ∈(0,2 π )，求： (1) sinθ 1－cotθ ＋ cosθ 1－tanθ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时θ 的值． 22．（14 分）已知 sin(3π -α )= 2sin(2π +β ), 3cos(-α )= - 2cos(π +β ),且 0<α <π ,0< β <π ,求 sinα 及 sinβ 的值. 答案： 1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C 10．C 11．C 12.B 13．1- 3 14．{－2,0,4} 15．2 2－1 3 16．11 16 17．解：原式= 1-[(cos2α +sin2α )2-2 sin2α cos2α ] 1-( cos2α + sin2α )( cos4α - sin2α cos2α +sin4α ) = 2sin2α cos2α 1-(1-3 sin2α cos2α ) = 2 3 18．解：∵L＝2R＋α R，S＝1 2α R2． ∴α ＝2S R2． ∴L＝2R＋2S R 2R2－LR＋2S＝0． △＝L2－16S≥0 S≤L2 16． 故当α ＝2．R＝L 4时，Smax＝L2 16． 19．解：当|m|＝1 时，α ＝kπ (k∈Z)．sinα ＝0，tanα ＝0． 当 m＝0 时，α ＝kπ ＋π 2 (k∈Z)，sinα ＝±1，tanα 不存在． 当 0＜|m|＜1 时，α 为象限角． 若α 为一、二象限角，则 sinα ＝ 1－m2，tanα ＝ 1－m2 m ， 若α 为三、四象限角，则 sinα ＝－ 1－m2，tanα ＝－ 1－m2 m ， 20．(1)∵ sin2α +5sinα -4sinα cosα -20cosα =0 ∴sinα (sinα -4cosα ) + 5(sinα -4cosα )=0. 即(sinα -4cosα ) (sinα +5)=0, ∴sinα =4cosα 或 sinα = -5(舍). ∴4sinα -6cosα 3cosα -2sinα = 16cosα -6 cosα 3 cosα -8 cosα = 10 cosα -5 cosα = -2. (2) 由(1)知 sinα =4cosα ∴tanα =4 ∴sin2α -3sinα cosα +9cos2α = sin2α -3sinα cosα +9cos2α sin2α +cos2α = tan2α -3 tanα +9 tan2α +1 = 16-12+9 16+1 = 13 17 21．解：依题得：sinθ ＋cosθ ＝ 3＋1 2 ，sinθ cosθ ＝m 2． ∴(1)原式＝ sin2θ sinθ －cosθ ＋ cos2θ －sinθ ＋cosθ ＝sinθ ＋cosθ ＝ 3＋1 2 ； (2)m＝2 sinθ cosθ ＝(sinθ ＋cosθ )2－1＝ 3 2 ． (3)∵sinθ ＋cosθ ＝ 3＋1 2 ． ∴| sinθ －cosθ |＝ 3－1 2 ． ∴方程两根分别为 3 2 ，1 2． ∴θ ＝π 6 或π 3 ． 22．解：由条件得：  sinα ＝ 2sinβ ① 3cosα ＝ 2cosβ ② ①2＋②2 得：sin2α ＋3cos2α ＝2． ∴cos2α ＝1 2． ∵α ∈(－π 2 ,π 2 )． ∴α ＝π 4 或－π 4 ． 将α ＝π 4 代入②得：cosβ ＝ 3 2 ，又β ∈(0,π )． ∴β ＝π 6 代入①适合， 将α ＝－π 4 代入①得 sinβ ＜0 不适合， 综上知存在   α ＝π 4 β ＝π 6 满足题设．