高中数学 综合测试题1 新人教A版选修2-2 13页

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题 一、选择题 ‎1．在数学归纳法证明“”时，验证当时，等式的左边为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ ‎2．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为（　　）‎ Ａ．或 Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．以上皆不正确 答案：Ｃ ‎3．设，若，则的值分别为（　　）‎ Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1‎ 答案：Ｄ ‎4．已知抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，则抛物线方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎5．数列满足若，则的值为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ ‎6．已知是不相等的正数，，，则，的关系是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不确定 答案：Ｂ ‎7．复数不可能在（　　）‎ Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ａ ‎8．定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（　　）的运算的结果（ 　）‎ Ａ．， Ｂ．， ‎ Ｃ．， Ｄ．，‎ 答案：Ｂ ‎9．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（　　）‎ Ａ．，都能被5整除 Ｂ．，都不能被5整除 Ｃ．不能被5整除 Ｄ．，有1个不能被5整除 答案：Ｂ ‎10．下列说法正确的是（　　）‎ Ａ．函数有极大值，但无极小值 Ｂ．函数有极小值，但无极大值 Ｃ．函数既有极大值又有极小值 Ｄ．函数无极值 答案：Ｂ ‎11．对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 答案：Ｂ ‎12．设在上连续，则在上的平均值是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ 二、填空题 ‎13．若复数为实数，则的值为　　　　　．‎ 答案：4‎ ‎14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为　　　　　．‎ 答案：61‎ ‎15．函数在区间上的最大值为3，最小值为，则，的值分别为　　　　　　．‎ 答案：2，3‎ ‎16．由与直线所围成图形的面积为　　　　　．‎ 答案：9‎ 三、解答题 ‎17．设且，求的值．（先观察时的值，归纳猜测的值．）‎ 解：当时，；‎ 当时，有；‎ 当时，有，‎ 而，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 当时，有．‎ 由以上可以猜测，当时，可能有成立．‎ ‎18．设关于的方程，‎ ‎（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；‎ ‎（2）证明：对任意，方程无纯虚数根．‎ 解：（1）设实数根为，则，‎ 即．‎ 由于，，那么 又，‎ 得 ‎（2）若有纯虚数根，使，‎ 即，‎ 由，，那么 由于无实数解．‎ 故对任意，方程无纯虚数根．‎ ‎19．设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．‎ 解：（1）因为函数，的图象都过点，所以，即．‎ 因为，所以．‎ ‎，即，所以．‎ 又因为在点处有相同的切线，‎ 所以，而，，所以．‎ 将代入上式得．‎ 因此．‎ 故，，．‎ ‎（2），．‎ 当时，函数单调递减．‎ 由，若，则；‎ 若，则．‎ 由题意，函数在上单调递减，则或．‎ 所以或．‎ 又当时，函数在上不是单调递减的．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若，且，则．‎ 解：此命题是真命题．‎ ‎，，，．‎ 要证成立，只需证，‎ 即证，也就是证，‎ 即证．‎ ‎，，‎ 成立，‎ 故原不等式成立．‎ ‎21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为，，则当为多少时，银行可获得最大收益？‎ 解：由题意，存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，‎ 银行应支付的利息，‎ 设银行可获收益为，则，‎ 由于，，则，即，得或．‎ 因为，时，，此时，函数递增；‎ 时，，此时，函数递减；‎ 故当时，有最大值，其值约为0.164亿．‎ ‎22．已知函数，数列满足，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）猜想数列的通项，并予以证明．‎ 解：（1）由，得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）猜想：，‎ 证明：（1）当时，结论显然成立；‎ ‎（2）假设当时，结论成立，即；‎ 那么，当时，由，‎ 这就是说，当时，结论成立；‎ 由（1），（2）可知，对于一切自然数都成立．‎ 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题 一、选择题 ‎1．函数的导数是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ ‎2．设复数，则满足的大于1的正整数中，最小的是（　　）‎ Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2‎ 答案：Ｂ ‎3．下列函数在点处没有切线的是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ ‎4．（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎5．编辑一个运算程序：，则的输出结果为（　　）‎ Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010‎ 答案：Ｄ ‎6．如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从到有几条不同的旅游路线可走（　　）‎ Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18‎ 答案：Ｃ ‎7．在复平面内，复数对应的点在（　　）‎ Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｂ ‎8．在中，分别为边所对的角，若成等差数列，则的范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｂ ‎9．设，则（　　）‎ Ａ．共有项，当时，‎ Ｂ．共有项，当时，‎ Ｃ．共有项，当时，‎ Ｄ．共有项，当时，‎ 答案：Ｄ ‎10．若函数的极值点是，函数的极值点是，则有（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．与的大小不确定 答案：Ａ ‎11．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围 是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎12．如图，阴影部分的面积是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ 二、填空题 ‎13．若复数为纯虚数，则实数的值等于　　　　　．‎ 答案：0‎ ‎14．若函数在区中上是单调递增函数，则实数的取值范围是　　．‎ 答案：－‎ ‎15．类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义：　　　　　．‎ 答案：对，若（是常数），则称数列为等积数列；‎ ‎16．已知函数在区间上的最大值是20，则实数的值等于 ‎　　　　．‎ 答案：‎ 三、解答题 ‎17．已知抛物线在点处的切线与直线垂直，求函数的最值．‎ 解：由于，所以，所以抛物线在点）处的切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，即，又因为点在抛物线上，所以，得．因为，于是函数没有最值，当时，有最小值．‎ ‎18．已知数列满足条件，，令，求数列的通项公式．‎ 解：在中，令，得；令，得；令，得２，所以．‎ 将代入中，得，．‎ 由此猜想：．以下用数学归纳法证明猜想正确．‎ ‎（1）当和时，结论成立；‎ ‎（2）假设当时，结论成立，即，所以，由已知有，因为，所以，于是，所以当时，结论也成立，根据和，对任意，均有．‎ ‎19．已知数列1，11，111，1111，，，，写出该数列的一个通项公式，并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数．‎ 解：由于，所以该数列的一个通项公式是；‎ 证明：假设是一个完全平方数，由于是一个奇数，所以它必须是一个奇数的平方，不妨设（为整数），于是．故此式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以不是一个完全平方数．‎ ‎20．已知，，复数的虚部减去它的实部所得的差为，求实数．‎ 解：．‎ ‎；‎ ‎，解得．‎ 又因为，故．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若，求函数在上的单调增区间；‎ ‎（2）若函数在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围．‎ 解：（1）当时，，，‎ 则，‎ 由于，而，所以，因此由，可得，即，于是，故函数的单调增区间为；‎ ‎（2）．‎ 因为函数在区是上是单调减函数，所以在上恒成立，而由于，所以，因此只要在上恒成立，即恒成立．‎ 又，所以应有．‎ ‎22．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为‎2米的无盖长方体沉淀箱，污水从孔流入，经沉淀后从孔流出，设箱体的长为米，高为米．已知流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当，各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（，孔的面积忽略不计）．‎ 解：设为流出的水中杂质的质量分数，则，‎ 其中为比例系数，依题意，即所求的，值使值最小，根据题设，有得．‎ 于是．‎ 当时，或（舍去）．‎ 本题只有一个极值点，‎ 当时，，‎ 即当为‎6米，为‎3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． ‎