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- 2021-06-24 发布
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[基础题组练]
1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:选C.结合图形分析可知(图略),满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).
2.已知直线l:y=2x+3被椭圆C:+=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
①y=2x-3; ②y=2x+1;
③y=-2x-3; ④y=-2x+3.
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:选C.直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( )
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
解析:选B.若直线AB的斜率不存在时,则横坐标之和为1,不符合题意.若直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-),代入抛物线y2=2x得,k2x2-(k2+2)x+k2=0,因为A,B两点的横坐标之和为2.所以k=±.所以这样的直线有两条.
4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( )
A.-3 B.-
C.-或-3 D.±
解析:选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x
-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,
所以·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.
5.(2020·杭州严州中学模拟)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,若|AF|=6,=λ,则λ的值为( )
A. B.
C. D.3
解析:选D.设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),C(-2,y3),则x1+2=6,
解得x1=4,y1=4,直线AB的方程为y=2(x-2),令x=-2,y=-8,
即C(-2,-8),联立方程
解得B(1,-2),
所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=3.
6.已知圆M:(x-1)2+y2=,椭圆C:+y2=1,若直线l与椭圆交于A,B两点,与圆M相切于点P,且P为AB的中点,则这样的直线l有( )
A.2条 B.3条
C.4条 D.6条
解析:选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时,P在x轴上,故满足条件的直线有2条;
当直线AB斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
由+y=1,+y=1,
两式相减,整理得=-·,
则kAB=-,kMP=,kMP·kAB=-1,
kMP·kAB=-·=-1,解得x0=,
由<,可得P在椭圆内部,
则这样的P点有2个,即直线AB斜率存在时,也有2条.
综上可得,所示直线l有4条.故选C.
7.(2020·温州市普通高中模考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线分别交抛物线于A,B
两点,交直线l:x=-1于点P,若=λ,=μ(λ,μ∈R),则λ+μ=________.
解析:直线x=-1是抛物线的准线,如图,设A,B在直线l上的射影分别是M,N,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,=,=,因为AM∥BN,所以=,|λ|=|μ|,又λ<0,μ>0,所以λ+μ=0.
答案:0
8.(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.
解析:由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).
由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得
x1+x2=,x1x2=0.
则|AB|=
=
= =.
答案:
9.(2020·温州市高三模拟)已知斜率为的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是________.
解析:设直线l:x=2y+t,联立抛物线方程得y2=2p(2y+t)⇒y2-4py-2pt=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
Δ=16p2+8pt>0⇒t>-2p,
所以y1+y2=4p,
y1y2=-2pt>0⇒t<0,即-2p<t<0,
x1x2=(2y1+t)(2y2+t)=4y1y2+2t(y1+y2)+t2=4·(-2pt)+2t·4p+t2=t2,
所以k1+k2=+=
===-,
因为-2p<t<0,所以->2,即k1+k2的取值范围是(2,+∞).
答案:(2,+∞)
10.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
所以+=0,
所以=-·.
因为=-,x1+x2=2,y1+y2=2,
所以-=-,
所以a2=2b2.又因为b2=a2-c2,
所以a2=2(a2-c2),
所以a2=2c2,所以=.
答案:
11.(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为椭圆E经过点A(2,3),离心率e=,
所以,所以a2=16,b2=12,
所以椭圆E方程为+=1.
(2)F1(-2,0),F2(2,0),因为A(2,3),
所以直线AF1的方程为3x-4y+6=0,直线AF2的方程为x=2,
设角平分线上任意一点P(x,y),则=|x-2|.
得2x-y-1=0或x+2y-8=0,
因为斜率为正,所以直线l的方程为2x-y-1=0.
(3)假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,所以kBC=-,
所以直线BC方程为y=-x+m代入+=1得x2-mx+m2-12=0,
所以BC的中点坐标为,
代入直线2x-y-1=0,得m=4.
所以BC的中点坐标为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.
12.已知点Q是抛物线C1:y2=2px(p>0)上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线C2:y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.若点Q的坐标为(1,-6),求直线AB的方程及弦AB的长.
解:由Q(1,-6)在抛物线y2=2px上,可得p=18,
所以抛物线C1的方程为y2=36x.
设抛物线C2的切线方程为y+6=k(x-1).
联立消去y,
得2x2-kx+k+6=0,
Δ=k2-8k-48.
由于直线与抛物线C2相切,故Δ=0,
解得k=-4或k=12.
由得A;
由得B.
所以直线AB的方程为12x-2y-9=0,弦AB的长为2.
[综合题组练]
1.(2020·温州模拟)已知直线l:y=-x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l′:y=-x+b交C于A,B两点,且PA⊥PB,求b的值.
解:(1)联立直线l:y=-x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0),
可得(m+n)x2-6nx+9n-1=0,
由题意可得Δ=36n2-4(m+n)(9n-1)=0,即为9mn=m+n,
又P在椭圆上,可得4m+n=1,
解方程可得m=,n=,
即椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线y=b-x和椭圆方程,可得3x2-4bx+2b2-6=0,判别式Δ=16b2-12(2b2-6)>0,
x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=2b-(x1+x2)=,y1y2=(b-x1)(b-x2)=b2-b(x1+x2)+x1x2=,
由PA⊥PB,
即为·=(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)
=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2-(y1+y2)+1
=-2·+-+5=0,
解得b=3或,代入判别式,知b=成立.
故b为.
2.(2020·绍兴市高三教学质量调测)已知点A(-2,0),B(0,1)在椭圆C:+=1(a>b>0)上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是线段AB上的点,直线y=x+m(m≥0)交椭圆C于M,N两点.若△MNP是斜边长为的直角三角形,求直线MN的方程.
解:(1)因为点A(-2,0),B(0,1)在椭圆C:+=1上,所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2+mx+m2-1=0,
则Δ=2-m2>0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,
|MN|=|x1-x2|=.
①当MN为斜边时, =,解得m=0,满足Δ>0,此时以MN为直径的圆的方程为x2+y2=.
点A(-2,0),B(0,1)分别在圆外和圆内, 即在线段AB上存在点P,此时直线MN的方程y=x,满足题意.
②当MN为直角边时,两平行直线AB与MN的距离d=|m-1|,所以d2+|MN|2=|m-1|2+(10-5m2)=10,即21m2+8m-4=0,
解得m=或m=-(舍),又Δ>0,所以m=.
过点A作直线MN:y=x+的垂线,可得垂足坐标为,垂足在椭圆外,即在线段AB上存在点P,所以直线MN的方程y=x+,符合题意.
综上所述,直线MN的方程为y=x或y=x+.
3.(2020·丽水市高考数学模拟)如图,已知抛物线C:x2=4y,直线l1与C相交于A,B两点,线段AB与它的中垂线l2交于点G(a,1)(a≠0).
(1)求证:直线l2过定点,并求出该定点坐标;
(2)设l2分别交x轴,y轴于点M,N,是否存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),
可得kAB====a,
由两直线垂直的条件可得直线l2的斜率为-;
即有直线l2:y=-(x-a)+1,
可得l2:y=-x+3过定点(0,3).
(2)l2:y=-x+3过M,N(0,3),
假设存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,
由中垂线的性质可得∠MAN=∠MBN,
可得∠MAN=90°,即有|AG|2=|MG||NG|,
由,
可得x2-2ax+2a2-4=0,x1+x2=2a,x1x2=2a2-4,
由弦长公式可得|AB|=
= ,
即有|MG||NG|==
=(4-a2),
所以(4-a2)=(a2+4),
所以a2=2,解得a=±.
故存在这样的实数a,且为±.