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  • 2021-06-24 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第九章 8 第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系

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‎[基础题组练]‎ ‎1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(  )‎ A.1条           B.2条 C.3条 D.4条 解析:选C.结合图形分析可知(图略),满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).‎ ‎2.已知直线l:y=2x+3被椭圆C:+=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(  )‎ ‎①y=2x-3; ②y=2x+1;‎ ‎③y=-2x-3; ④y=-2x+3.‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选C.直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.‎ ‎3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(  )‎ A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条 解析:选B.若直线AB的斜率不存在时,则横坐标之和为1,不符合题意.若直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-),代入抛物线y2=2x得,k2x2-(k2+2)x+k2=0,因为A,B两点的横坐标之和为2.所以k=±.所以这样的直线有两条.‎ ‎4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(  )‎ A.-3 B.- C.-或-3 D.± 解析:选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x ‎-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,‎ 所以·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.‎ ‎5.(2020·杭州严州中学模拟)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,若|AF|=6,=λ,则λ的值为(  )‎ A. B. C. D.3‎ 解析:选D.设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),C(-2,y3),则x1+2=6,‎ 解得x1=4,y1=4,直线AB的方程为y=2(x-2),令x=-2,y=-8,‎ 即C(-2,-8),联立方程 解得B(1,-2),‎ 所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=3.‎ ‎6.已知圆M:(x-1)2+y2=,椭圆C:+y2=1,若直线l与椭圆交于A,B两点,与圆M相切于点P,且P为AB的中点,则这样的直线l有(  )‎ A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 解析:选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时,P在x轴上,故满足条件的直线有2条;‎ 当直线AB斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),‎ 由+y=1,+y=1,‎ 两式相减,整理得=-·,‎ 则kAB=-,kMP=,kMP·kAB=-1,‎ kMP·kAB=-·=-1,解得x0=,‎ 由<,可得P在椭圆内部,‎ 则这样的P点有2个,即直线AB斜率存在时,也有2条.‎ 综上可得,所示直线l有4条.故选C.‎ ‎7.(2020·温州市普通高中模考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线分别交抛物线于A,B 两点,交直线l:x=-1于点P,若=λ,=μ(λ,μ∈R),则λ+μ=________.‎ 解析:直线x=-1是抛物线的准线,如图,设A,B在直线l上的射影分别是M,N,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,=,=,因为AM∥BN,所以=,|λ|=|μ|,又λ<0,μ>0,所以λ+μ=0.‎ 答案:0‎ ‎8.(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.‎ 解析:由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).‎ 由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得 x1+x2=,x1x2=0.‎ 则|AB|= ‎= ‎= =.‎ 答案: ‎9.(2020·温州市高三模拟)已知斜率为的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是________.‎ 解析:设直线l:x=2y+t,联立抛物线方程得y2=2p(2y+t)⇒y2-4py-2pt=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ Δ=16p2+8pt>0⇒t>-2p,‎ 所以y1+y2=4p,‎ y1y2=-2pt>0⇒t<0,即-2p<t<0,‎ x1x2=(2y1+t)(2y2+t)=4y1y2+2t(y1+y2)+t2=4·(-2pt)+2t·4p+t2=t2,‎ 所以k1+k2=+= ‎===-,‎ 因为-2p<t<0,所以->2,即k1+k2的取值范围是(2,+∞).‎ 答案:(2,+∞)‎ ‎10.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 所以+=0,‎ 所以=-·.‎ 因为=-,x1+x2=2,y1+y2=2,‎ 所以-=-,‎ 所以a2=2b2.又因为b2=a2-c2,‎ 所以a2=2(a2-c2),‎ 所以a2=2c2,所以=.‎ 答案: ‎11.(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;‎ ‎(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),‎ 因为椭圆E经过点A(2,3),离心率e=,‎ 所以,所以a2=16,b2=12,‎ 所以椭圆E方程为+=1.‎ ‎(2)F1(-2,0),F2(2,0),因为A(2,3),‎ 所以直线AF1的方程为3x-4y+6=0,直线AF2的方程为x=2,‎ 设角平分线上任意一点P(x,y),则=|x-2|. ‎ 得2x-y-1=0或x+2y-8=0,‎ 因为斜率为正,所以直线l的方程为2x-y-1=0.‎ ‎(3)假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,所以kBC=-,‎ 所以直线BC方程为y=-x+m代入+=1得x2-mx+m2-12=0,‎ 所以BC的中点坐标为,‎ 代入直线2x-y-1=0,得m=4.‎ 所以BC的中点坐标为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.‎ ‎12.已知点Q是抛物线C1:y2=2px(p>0)上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线C2:y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.若点Q的坐标为(1,-6),求直线AB的方程及弦AB的长.‎ 解:由Q(1,-6)在抛物线y2=2px上,可得p=18,‎ 所以抛物线C1的方程为y2=36x.‎ 设抛物线C2的切线方程为y+6=k(x-1).‎ 联立消去y,‎ 得2x2-kx+k+6=0,‎ Δ=k2-8k-48.‎ 由于直线与抛物线C2相切,故Δ=0,‎ 解得k=-4或k=12.‎ 由得A;‎ 由得B.‎ 所以直线AB的方程为12x-2y-9=0,弦AB的长为2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·温州模拟)已知直线l:y=-x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2,1).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线l′:y=-x+b交C于A,B两点,且PA⊥PB,求b的值.‎ 解:(1)联立直线l:y=-x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0),‎ 可得(m+n)x2-6nx+9n-1=0,‎ 由题意可得Δ=36n2-4(m+n)(9n-1)=0,即为9mn=m+n,‎ 又P在椭圆上,可得4m+n=1,‎ 解方程可得m=,n=,‎ 即椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立直线y=b-x和椭圆方程,可得3x2-4bx+2b2-6=0,判别式Δ=16b2-12(2b2-6)>0,‎ x1+x2=,x1x2=,‎ y1+y2=2b-(x1+x2)=,y1y2=(b-x1)(b-x2)=b2-b(x1+x2)+x1x2=,‎ 由PA⊥PB,‎ 即为·=(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)‎ ‎=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2-(y1+y2)+1‎ ‎=-2·+-+5=0,‎ 解得b=3或,代入判别式,知b=成立.‎ 故b为.‎ ‎2.(2020·绍兴市高三教学质量调测)已知点A(-2,0),B(0,1)在椭圆C:+=1(a>b>0)上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)P是线段AB上的点,直线y=x+m(m≥0)交椭圆C于M,N两点.若△MNP是斜边长为的直角三角形,求直线MN的方程.‎ 解:(1)因为点A(-2,0),B(0,1)在椭圆C:+=1上,所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2+mx+m2-1=0,‎ 则Δ=2-m2>0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,‎ ‎|MN|=|x1-x2|=.‎ ‎①当MN为斜边时, =,解得m=0,满足Δ>0,此时以MN为直径的圆的方程为x2+y2=.‎ 点A(-2,0),B(0,1)分别在圆外和圆内, 即在线段AB上存在点P,此时直线MN的方程y=x,满足题意.‎ ‎②当MN为直角边时,两平行直线AB与MN的距离d=|m-1|,所以d2+|MN|2=|m-1|2+(10-5m2)=10,即21m2+8m-4=0,‎ 解得m=或m=-(舍),又Δ>0,所以m=.‎ 过点A作直线MN:y=x+的垂线,可得垂足坐标为,垂足在椭圆外,即在线段AB上存在点P,所以直线MN的方程y=x+,符合题意.‎ 综上所述,直线MN的方程为y=x或y=x+.‎ ‎3.(2020·丽水市高考数学模拟)如图,已知抛物线C:x2=4y,直线l1与C相交于A,B两点,线段AB与它的中垂线l2交于点G(a,1)(a≠0).‎ ‎(1)求证:直线l2过定点,并求出该定点坐标;‎ ‎(2)设l2分别交x轴,y轴于点M,N,是否存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则,‎ 两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),‎ 可得kAB====a,‎ 由两直线垂直的条件可得直线l2的斜率为-;‎ 即有直线l2:y=-(x-a)+1,‎ 可得l2:y=-x+3过定点(0,3).‎ ‎(2)l2:y=-x+3过M,N(0,3),‎ 假设存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,‎ 由中垂线的性质可得∠MAN=∠MBN,‎ 可得∠MAN=90°,即有|AG|2=|MG||NG|,‎ 由,‎ 可得x2-2ax+2a2-4=0,x1+x2=2a,x1x2=2a2-4,‎ 由弦长公式可得|AB|= ‎= ,‎ 即有|MG||NG|== ‎=(4-a2),‎ 所以(4-a2)=(a2+4),‎ 所以a2=2,解得a=±.‎ 故存在这样的实数a,且为±.‎

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