高中数学：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案（新人教A版必修2） 6页

点、直线、平面之间的位置关系 复习（一）‎ 课 型：复习课 一、教学目标 ‎1、知识与技能 ‎（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；‎ ‎（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。‎ ‎2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。‎ ‎3情态与价值 学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。‎ 二、教学重点、难点 重点：各知识点间的网络关系；‎ 难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。‎ 三、教学设计 ‎（一）知识回顾，整体认识 ‎1、本章知识回顾 ‎（1）空间点、线、面间的位置关系；‎ ‎（2）直线、平面平行的判定及性质；‎ ‎（3）直线、平面垂直的判定及性质。‎ ‎2、本章知识结构框图 平面（公理1、公理2、公理3、公理4）‎ 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 直线与直线的位置关系 ‎ ‎ ‎（二）整合知识，发展思维 ‎1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。‎ 公理1——判定直线是否在平面内的依据；‎ 公理2——提供确定平面最基本的依据；‎ 公理3——判定两个平面交线位置的依据； ‎ 公理4——判定空间直线之间平行的依据。‎ ‎2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；‎ ‎3、空间平行、垂直之间的转化与联系：‎ 平面与平面平行 直线与平面平行 直线与直线平行 直线与直线垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 ‎4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。‎ ‎（三）应用举例，深化巩固 ‎1、P‎.73 A组第1题 ‎2、P‎.74 A组第6、8题 ‎（四）、课堂练习：‎ ‎1．选择题 ‎ （1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是 （ ）‎ ‎ （A）4个 （B）6个 （C）7个 （D）8个 ‎ （2）直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（ ）‎ ‎ （A）没有 （B）有一条 （C）有无数条 （D）a内所有直线 答案：（1）D (2) C ‎2．填空题 ‎（1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PA⊥a，PA=a，则P到CD的距离为 ，P到BC的距离为 .‎ A A′‎ C O ‎（2）AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60º角，‎ OCÌa，AA＇⊥a于A＇，∠A＇OC=45º，‎ 则A到直线OC的距离是 ，‎ ‎∠AOC的余弦值是 .‎ 答案：（1）; （2）‎ ‎3．在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，求证：A‎1C⊥平面BC1D.‎ 分析：A‎1C在上底面ABCD的射影AC⊥BD,‎ ‎ A‎1C在右侧面的射影D‎1C⊥C1D,‎ 所以A‎1C⊥BD, A‎1C⊥C1D,从而有A‎1C⊥平面BC1D.‎ 课后作业 ‎1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；‎ ‎2、P.76 B组第2题。‎ 课后记：‎ 点、直线、平面之间的位置关系 复习（二）‎ 课 型：复习课 一、复习目标：‎ ‎ 1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．‎ ‎ 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．‎ ‎3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；‎ ‎4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。‎ 二、例题分析：‎ ‎ 例1．正方体ABCD—A1B‎1C1D1中．‎ ‎ (1)求证：平面A1BD∥平面B1D‎1C；‎ ‎ (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．‎ 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，‎ A1‎ A B1‎ B C1‎ C D1‎ D G E F ‎ ∴B1D1∥BD，‎ ‎ 又BD Ë平面B1D‎1C，B1D1平面B1D‎1C，‎ ‎ ∴BD∥平面B1D‎1C．‎ ‎ 同理A1D∥平面B1D‎1C．‎ ‎ 而A1D∩BD＝D，‎ ‎ ∴平面A1BD∥平面B1CD．‎ ‎ (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B‎1G．‎ ‎ 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．‎ ‎ ∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．‎ ‎ ∴平面EB1D1∥平面FBD．‎ ‎ 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．‎ 小结：‎ 例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．‎ 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．‎ B A D C N Q M 证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC． ‎ ‎∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．‎ ‎∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．‎ ‎∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．‎ ‎(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．‎ ‎ 否则，若ACÌα，‎ ‎ 由A∈α，M∈α，得B∈α；‎ ‎ 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，‎ ‎ 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．‎ ‎ 又∵MNÌα，∴AC∥α，‎ ‎ 又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．‎ ‎ 同理可证BD∥平面MNP．‎ ‎ ‎ 例3．四面体中，分别为的中点，且，‎ ‎ ，求证：平面 ‎ ‎ 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴‎ ‎ ，又∴，∴在中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴，∴，又，即，‎ ‎ ∴平面 ‎ 例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，‎ ‎（1）求证：；（2）当，时，求的长。‎ ‎（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，‎ ‎∴，∵ 平面 ，∴ 平面 ‎ ‎∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴ ‎ ‎ ∴，∴，由三垂线定理得 ‎ （2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴‎ 课后作业：‎ ‎1．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形）‎ A B C D B1‎ ‎1‎ ‎2．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． ‎ ‎ 证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2‎ ‎ 在一条直线上，‎ ‎ ∴A，B，C，D四点共面．‎ ‎ 又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，‎ ‎ ∴平面ABB‎1A1∥平面CDD‎1C1．‎ ‎ ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB‎1A1，平面CDD‎1C1的交线．‎ ‎ ∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎3．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ）‎ ‎ （A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M ‎ （C）N⊥Ma∥N （D） ‎ ‎4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：‎ ‎（3）若，求证：平面 ‎ ‎ ‎5．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 课后记：‎