江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2020届高三上学期11月月考数学（理）试题 20页

白鹭洲中学2019--2020学年高三上学期第一次月考数学(理科)‎ 第I卷(选择题共60 分)‎ 一、选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，求对数型函数定义域求得集合，进而求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为，，所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设x∈R，则“x2＜1”是“lgx＜0”的(　　)‎ A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎，‎ 不能推出，‎ ‎∴“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题.‎ ‎3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用“”分段法，找到小于、在之间和大于的数，由此判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】因为，，，所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A. 0.15 B. 0.30 C. 0.70 D. 0.85‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布中概率的对称性计算．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选:D．‎ ‎【点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设，则．‎ ‎5.已知是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质，可以判断出函数的单调性，再根据对数函数的图象可以得到之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，且在内单调递减，所以 是定义在上减函数，因为，所以，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象.‎ ‎6.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.‎ ‎【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率，‎ 设军旗的面积为，由题意可得：‎ ‎，∴.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.‎ ‎7. 下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“存在”的否定是：“任意”‎ C. 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；‎ B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；‎ C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；‎ D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．‎ 解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；‎ B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；‎ C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；‎ D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．‎ 故选B．‎ 考点：命题的真假判断与应用．‎ ‎8.运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为101，则判断框中可以填(　　) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】程序的功能是计算 ‎，‎ 而，，‎ 故条件为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.设函数，则当x>0时,表达式的展开式中常数项为 A. -20 B. 20 C. -15 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意，由于函数 当x>0时，则可知f(x)=,则=,故可知展开式中的常数项为,则当r=3时，取得常数项为-20，故答案为A.‎ 考点：函数的解析式 点评：主要是考查了函数解析式的运用，属于基础题．‎ ‎10.某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )‎ A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由容斥原理， 2不站两端有， 1,3，5不相邻有， 2 站两端且1,3，5不相邻有，所以,所以共有，选A.‎ ‎【点睛】当从正面分类比较复杂时，常从反面，用容斥原理处理排列组合问题．‎ ‎11.从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）‎ A. 1号路线 B. 2号路线 C. 3号路线 D. 2号路线或3号路线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】①若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；‎ ‎②若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；‎ ‎③若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有2号路线不堵，所以小王最应该选择2号路线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.‎ ‎12.函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意设，则，所以（为常数）．∵，∴，∴，‎ ‎∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴，从而当时，，∴在区间上单调递增．‎ 设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以．‎ ‎∴不等式等价于，‎ ‎ ∴，解得，故的取值范围为．选A．‎ 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎14.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，|r|越大，模拟的拟合效果越好；②在一组样本数据不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；③对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据相关系数的概念以及两变量把握程度的概念进行判断．‎ ‎【详解】①在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，|r|越大，模拟的拟合效果越好，①正确；‎ ‎②相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为－1，②错误；‎ ‎③对分类变量x与y随机变量来说，越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大．③错误．‎ 故正确命题个数为1．‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查回归分析中相关系数的概念，考查两变量的把握程度的判断，属于基础题．‎ ‎15.函数的所有零点之和为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的零点，‎ 即的根，所以，，函数是奇函数，它们的图象在 的交点横坐标，就是函数的零点．‎ 在同一坐标系内，画出的图象，交点有4个，且关于点（1，0）对称，即x是零点，2－x也是函数的零点，故函数的所有零点之和为4.‎ 考点：函数零点，函数的图象．‎ 点评：简单题，函数的零点，是函数图像与x轴的交点横坐标，也是方程的根．注意利用对称性确定零点之和．‎ ‎16.已知函数，.若函数有6个零点（互不相同），则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】（，2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别画出、的图象，采用换元法令，考虑中的取值可使有个解时对应的的取值范围.‎ ‎【详解】作出、图象如下：‎ 因为至多有两解，至多有三解，则有两解时有解；‎ 且，，所以有三解时；‎ 当时，，当时，，‎ 故时，有6个零点 ‎【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知的最小值为t.‎ ‎（1）求t的值；‎ ‎（2）若实数a，b满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数，再根据分段函数性质求得最小值．‎ ‎（2）由基本不等式可得最小值．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，∴t＝2；‎ ‎（2）由（1）可知2a2+2b2＝2，则a2+b2＝1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 故的最小值为9．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值函数的性质，考查基本不等式求最值．对绝对值函数可根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后再研究分段函数的性质即可．‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；由两边同时乘以，即可得到，进而可得的直角坐标方程；‎ ‎(2)根据的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将分别代入和的极坐标方程，求出和，再由，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由消去参数，得的普通方程为.‎ 由，得，又，，‎ 所以的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知曲线的普通方程为，‎ 所以其极坐标方程为.‎ 设点，的极坐标分别为，，‎ 则，，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎19.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，N，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：，其中.‎ ‎(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．‎ ‎(2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．‎ ‎【答案】（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段考虑的解；‎ ‎（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应的范围内的最大值.‎ ‎【详解】解: （1）9≤t≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.‎ ‎4≤t<9时，1800-15(9-t)2≤1500，即 解得t≥9+2(舍)或t≤9-2‎ ‎∵4≤t <9，t∈N.‎ ‎∴t=4.‎ ‎(2）由题意可得 ‎4≤t <9，t =7时，=260(元)‎ ‎9≤t≤15，t =9时，=220(元)‎ 答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.‎ ‎(2)问当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.‎ ‎【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.‎ ‎20.某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米 (四舍五入,精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .‎ ‎（Ⅰ）求进入决赛的人数；‎ ‎（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记表示两人中进入决赛的人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎ (Ⅲ) 经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲,乙各跳一次，求甲比乙远的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）借助题设中的频率分布直方图及频率和频数之间的关系求解; （Ⅱ）依据题设运用贝努里概率分布公式探求；(Ⅲ)条件运用面积型几何概型公式求解:‎ ‎【详解】（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，‎ ‎∴总人数为(人). ‎ ‎∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)‎ 即进入决赛人数为 . ‎ ‎（Ⅱ）=0,1,2,进入决赛的概率为 ∴～， ‎ ‎， ‎ ‎，.　所求分布列为 ‎ ，两人中进入决赛的人数的数学期望为. ‎ ‎(Ⅲ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为米，则基本事件满足的区域为 ‎， ‎ 事件“甲比乙远的概率”满足的区域为，如图所示. ‎ ‎∴由几何概型. 即甲比乙远的概率为.‎ ‎21.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日)，t为入住天数(单位:天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图 x ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎450‎ t ‎90‎ ‎65‎ ‎45‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查，记为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列 ‎(2)z＝lnx，由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a，的结果精确到0.1)‎ ‎(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大?(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x) ‎ 参考数据， ， ‎ ‎【答案】(1) 见解析；(2) 更适合于此模型；；(3) 当收费标准约为150(元/日)时，100天销售额L最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布求得概率，则分布列可求；（2）由散点图可知，更适合于此模型，分别求得与，则回归方程可求；（3）依题意，再由导数求最值即可.‎ ‎【详解】(1)的所有可能取值为0，1，2‎ 则P(＝0)＝‎ ‎∴的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(2)由散点图可知更适合于此模型 依题意，‎ 则 ‎ ‎ 所求的回归方程为 ‎ ‎(3)依题意，，‎ 则，‎ 由，得，，由，得，‎ ‎∴在上递增，在上递减 当时，取到最大值 ‎∴当收费标准约为150(元/日)时，100天销售额L最大.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求法，考查回归方程的求法，训练了利用导数求最值，是中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）设，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点 处的切线l与函数的图象也相切；‎ ‎（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为（0，]；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，在函数定义域内由确定其增区间；‎ ‎（2）先求出在处的切线方程，设这条切线与的图象切于点，由，得出关于的方程，然后证明此方程的解在上存在且唯一．‎ ‎（3）把问题转化为在上有解，令，则只要即可．‎ ‎【详解】（1）h（x）＝g（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x∈（0，+∞）．‎ 令，‎ 解得．‎ ‎∴函数h（x）的单调增区间为（0，]．‎ ‎（2）证明：设x0＞1，，可得切线斜率，‎ 切线方程为：．‎ 假设此切线与曲线y＝f（x）＝ex相切于点B（x1，），f′（x）＝ex．‎ 则k=，‎ ‎∴．‎ 化为：x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1＝0，x0＞1．‎ 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．‎ 令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1，x0＞1．‎ ‎，在x0∈（1，+∞）上单调递增．‎ 又u′（1）＝－1，，‎ ‎∴在上有唯一实数解，‎ ‎，，递减，‎ 时，，递增，‎ 而，∴在上无解，‎ 而，∴在上有唯一解．‎ ‎∴方程在（1，+∞）上存在唯一解．‎ 即：存在唯一的x0，使得函数y＝g（x）的图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与函数y＝f（x）的图象也相切．‎ ‎（3）证明：，‎ 令v（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．‎ ‎∴v′（x）＝ex﹣1＞0，‎ ‎∴函数v（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴v（x）＞v（0）＝0．‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式，a＞0⇔ex﹣x﹣1﹣ax＜0，‎ 即H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax＜0，‎ 由对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立⇔H（x）min＜0．‎ H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax，a，x∈（0，+∞）．‎ H′（x）＝ex﹣1﹣a，令ex﹣1﹣a＝0，‎ 解得x＝＞0，‎ 函数H（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．‎ ‎∵H（0）＝0，∴．‎ ‎∴存在对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．‎ ‎ ‎