专题10 数列、等差数列﹑等比数列（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 11页

命题猜想十 数列、等差数列﹑等比数列 ‎【考向解读】 ‎ ‎1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．‎ ‎2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．‎ ‎3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.‎ ‎【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算 ‎ 例1、【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6． 【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，m＋n＝2p⇒am＋an＝2ap；等比数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒aman＝apaq，m ＋ n ＝ 2p⇒aman＝a.‎ ‎【变式探究】 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．‎ ‎(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎【解析】解：（1）证明：因为an＋1an＋an＋1－an＝0（n∈N*），‎ 所以bn＋1－bn＝－＝－＝1，‎ 又b1＝＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知bn＝n，所以an＝.‎ 令cn＝，则cn＝＝－，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎ 【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列；②等差中项法，即2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；③通项公式法，即an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列；④前n项和公式法，即Sn＝an2＋bn(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即＝q(q为常数且q≠0，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等比数列；②等比中项法，即a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列；③通项公式法，即an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．‎ ‎【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn 为其前n 项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn} 满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎(1) 求an 和Tn.‎ ‎(2) 是否存在正整数 m，n(11，且an，an＋1，an＋2成等差数列（n∈N*）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记bn＝nan，数列的前n项和为Sn，若（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】解：（1）由an，an＋1，an＋2成等差数列，可得an＋an＋2＝an＋1.‎ 又是等比数列，所以an＋q2an＝qan，又因为an≠0，所以2q2－5q＋2＝0，‎ 因为q>1，所以q＝2.‎ 又a1＝2，所以数列的通项公式为an＝2n.‎ ‎（2）因为bn＝nan＝n·2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，‎ ‎2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，‎ 所以Sn＝－（2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1）＝－（－n·2n＋1）＝（n－1）·2n＋1＋2.‎ 因为（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，所以 ‎（n－1）2≤m（n－1）·2n＋1＋2－n－1]恒成立，即（n－1）2≤m（n－1）（2n＋1－1）恒成立，‎ 于是问题转化为m≥对于n≥2，n∈N*恒成立.‎ 令f（n）＝，n≥2，则f（n＋1）－f（n）＝－＝<0，‎ 所以当n≥2，n∈N*时，f（n＋1）