专题4-3+三角函数的图象与性质（讲）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测 23页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第四章 三角函数 第03节 三角函数的图象与性质 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 三角函数的图象和性质 ‎①能画出的图像；‎ ‎②了解三角函数的周期性.‎ 理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数在区间（）的单调性.‎ ‎2013新课标I文16，理15；II.文16；‎ ‎2014新课标I文7；II.文14，理14；‎ ‎2015新课标I文8，理8； ‎ ‎2016新课标I文6，理12；II.文3，11，理7；III文14，理14,21；‎ ‎2017新课标I文8，理9；II.文3，13，理14；III文6，理6.‎ ‎1.“五点法”作图；‎ ‎2,.三角函数的性质.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；‎ ‎(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 ‎（1）正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数．‎ 在上是增函数；在上是减函数． ‎ 在上是增函数．‎ 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 ‎，既是中心对称又是轴对称图形。‎ ‎，既是中心对称又是轴对称图形。‎ 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。‎ ‎（2）（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2．三角函数的定义域与值域 ‎（1）定义域：,的定义域为,的定义域为.‎ ‎（2）值域：,的值域为,的值域为.‎ ‎（3）最值：：当时，；当时，．‎ ：当时，；当时，．‎ ：既无最大值，也无最小值 对点练习：‎ 函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由⩾0得,∴，k∈Z.‎ 故选D.‎ ‎3.三角函数的单调性 ‎（1）三角函数的单调区间：‎ 的递增区间是，‎ 递减区间是；‎ 的递增区间是，‎ 递减区间是，‎ 的递增区间是，‎ ‎（2）复合函数的单调性 设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 对点练习：‎ 函数为增函数的区间是（ ）‎ ‎【答案】C ‎4 .三角函数的对称性 ‎（1）对称轴与对称中心：‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 对称中心为. ‎ ‎（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．‎ ‎（3）相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ 对点练习：‎ 已知函数 ()的最小正周期为，则该函数的图象( )‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】∵函数 ()的最小正周期为，∴， ，‎ 令， ， ， ，显然A，B错误；‎ 令，可得： ， ，显然时，D正确 故选：D ‎5.三角函数的奇偶性 ‎（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 ‎（2）奇偶函数的性质：‎ ‎（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；‎ ‎（3）为偶函数．‎ ‎（4）若奇函数的定义域包含，则．‎ ‎（5）为奇函数，为偶函数，为奇函数.‎ 对点练习：‎ ‎【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】函数是偶函数的充要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】根据题意， ，若f（x）为偶函数，则有，即，‎ 本题选择C选项.‎ ‎6.三角函数的周期性 ‎（1）周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．‎ ‎（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做的最小正周期． ‎ ‎（3）,周期为,周期为.‎ 对点练习：‎ ‎【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D）， ‎【答案】 ‎ ‎【考点深度剖析】‎ 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 ‎ 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： ‎ ‎（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；‎ ‎（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；‎ ‎（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.‎ 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 ‎【1-1】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 ‎【答案】C ‎【解析】由函数的图像可知，且函数的周期大于，因此.易知选.‎ ‎【1-2】函数()的大致图象是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以为偶函数，当，，f(0)=0，，故选C．‎ ‎【领悟技法】‎ 用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017河南新乡三模】若函数f(x)=sin(ωx+π‎3‎)‎（‎0<ω<1‎）的图象关于点‎(-2,0)‎对称，则ω=‎__________．‎ ‎【答案】‎π‎6‎ ‎【解析】根据题意可得ω×2+π‎3‎=kπ,k∈Z,‎ 又‎0<ω<1‎，故ω=‎π‎4‎ . ‎ ‎【变式二】设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 . ‎ ‎【答案】 考点2三角函数的定义域与值域 ‎【 2-1】【2017新课标2】函数fx=sin‎2‎x+‎3‎cosx-‎‎3‎‎4‎（x∈‎‎0,‎π‎2‎）的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】化简三角函数的解析式，则fx=1-cos‎2‎x+‎3‎cosx-‎3‎‎4‎=-cos‎2‎x+‎3‎cosx+‎1‎‎4‎=‎ ‎-‎(cosx-‎3‎‎2‎)‎‎2‎+1‎，由x∈[0,π‎2‎]‎可得cosx∈[0,1]‎，当cosx=‎‎3‎‎2‎时，函数f(x)‎取得最大值1．‎ ‎【2-2】函数的定义域是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】(1)由题意得，即，分别由三角函数线得， ‎【领悟技法】‎ ‎1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．‎ ‎2．三角函数值域的不同求法 ‎(1)利用sin x和cos x的值域直接求；‎ ‎(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；‎ ‎(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；‎ ‎(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式】当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】∵x∈，∴sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝‎ ‎22＋.∴当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.‎ 考点3三角函数的单调性 ‎【3-1】【2017辽宁省沈阳市重点高中】已知ω>0‎，函数fx=sinωx+‎π‎4‎在π‎2‎‎,π上单调递减，则ω的取值范围是 ( )‎ A. ‎1‎‎2‎‎,‎‎5‎‎4‎ B. ‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎4‎ C. ‎0,‎‎1‎‎2‎ D. ‎‎0,2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得π‎2‎‎+2kπ≤ωx+π‎4‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z⇒π‎4ω+‎2kπω≤x≤‎5π‎4ω+‎2kπω,k∈Z ‎ π‎4ω‎+‎2kπω≤π‎2‎,π≤‎5π‎4ω+‎2kπω,k∈Z⇒‎1‎‎2‎+4k≤ω≤‎5‎‎4‎+2k,k∈Z⇒‎1‎‎2‎≤ω≤‎‎5‎‎4‎‎，选A.‎ ‎【3-2】【2017安徽滁州九校】已知函数的最小正周期为，则该函数的单调增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ ‎2. 如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ ‎3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：‎ ‎(1)将化为正．‎ ‎(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】函数f(x)=cos(ωx+φ)‎的部分图像如图所示，则f(x)‎的单调递减区间为（ ）‎ A. ‎(kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎3‎‎4‎)(k∈Z)‎ B. ‎‎(2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎3‎‎4‎)(k∈Z)‎ C. ‎(k-‎1‎‎4‎,k+‎3‎‎4‎)(k∈Z)‎ D. ‎‎(2k-‎1‎‎4‎,2k+‎3‎‎4‎)(k∈Z)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由五点作图知‎1‎‎4‎ω+φ=‎π‎2‎‎5‎‎4‎ω+φ=‎‎3π‎2‎，解得：ω=π,φ=‎π‎4‎，所以f(x)=cos(πx+π‎4‎)‎，令 ‎2kπ<πx+π‎4‎<2kπ+π,k∈Z‎，解得‎2k-‎1‎‎2‎