2018届二轮复习五　三角函数及解三角形学案（全国通用） 37页

专题五　三角函数及解三角形 ‎[高考领航]————————————摸清规律　预测考情 全国卷 预测 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 考情 ‎2018‎ ‎(Ⅰ卷)‎ T6(三角函数的定义、图象)‎ T8(三角恒等变换)‎ T16(解三角形)‎ ‎(Ⅱ卷)‎ T4(解三角形)‎ T12(三角函数图象、性质)‎ T14(三角恒等变换)‎ ‎(大纲卷)‎ T3(三角函数的诱导公式)‎ T16(三角函数、导数)‎ T17(解三角形)‎ ‎(Ⅰ卷)‎ T2(三角恒等变换)‎ T8(三角函数图象)‎ ‎ T16(解三角形)‎ ‎(Ⅱ卷)‎ T17(解三角形)‎ ‎(Ⅰ卷) T12(三角函数图象)‎ T17(解三角形)‎ ‎(Ⅱ卷)‎ T7(三角函数图象)‎ T9(三角变换与求值)‎ T13(解三角形)‎ ‎(Ⅲ卷)‎ ‎(Ⅰ卷)‎ T9(三角函数图象)‎ T17(解三角形)‎ ‎(Ⅱ卷)‎ T14(三角函数性质)‎ T17(解三角形)‎ ‎(Ⅲ卷)‎ T6(三角函数性质)‎ 分值：10－17分.‎ 题型：选择、填空、解答.‎ 题量：2个或3个.‎ 难度：中档偏下.‎ 考点：‎ T5(三角函数变换与求值)‎ T8(解三角形)‎ T14(三角函数图象)‎ T17(解三角形)‎ 三角函数图象变换与性质；三角恒等变换与求值；运用正、余弦定理解三角形.‎ 通过对近5年全国高考试题分析，可以预测：2018年高考三角函数以图象变换、单调性、奇偶性、周期性、对称性最值等为热点，结合三角恒等变换．三角形以正、余弦定理为中心，求角求边、求面积.‎ 考点一　三角函数图象与性质 ‎1．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝或tan φ＝.‎ ‎2．三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．‎ ‎3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)，则对称轴x＝π－ 对称中心为(k∈Z)．‎ 二轮复习　数学第1部分　专题三　三角函数及解三角形 小题速解——不拘一格　优化方法 类型一　三角函数图象及其变换 ‎[典例1]　(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：通解：根据图象直接求A，ω，φ.‎ 根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．‎ 由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－‎ eq f(π,6)(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.‎ 优解：代入特殊点检验排除．‎ 当x＝，y＝2时，排除B，D.‎ 当x＝－，y＝－2时，排除C，故选A.‎ 答案：A ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 解析：通解：化简后平移 函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin的图象至少向右平移个单位长度得到．‎ 优解：当y＝0时，求离原点最近的两个零点 令sin x－cos x＝0，得x＝.‎ 令sin x＋cos x＝0，得x＝－，∴－＝π.‎ 答案：π ‎[母题变式]‎ 若本例(1)的图象变为求f(x)的解析式．若要得到y＝sin x的图象，由y＝f(x)的图象如何变换？.‎ 解：＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2‎ 当x＝时，y＝2，∴2＝2sin，‎ ‎∴φ＝，∴f(x)＝2sin 将f(x)图象的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，然后再将纵坐标缩小到原来的倍(横坐标不变)即得到y＝sin x的图象．‎ ‎1．已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的方法 ‎(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，已知函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎2．三角函数图象平移问题处理策略 ‎(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．‎ ‎(2)看左右移动方向，左“＋”右“－”．‎ ‎(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是.‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：通解：选D.由函数图象知T＝2×＝2.‎ ‎∴＝2，即ω＝π.‎ 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝.‎ ‎∴f(x)＝cos 由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π得，‎ ‎2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故选D.‎ 优解：由题图可知＝－＝1，所以T＝2.‎ 结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.‎ ‎2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中M，N两点之间的距离为5，则f(2 017)＝________.‎ 解析：|MN|＝＝5‎ ‎∴|xN－xM|＝3，∴T＝6‎ 所以＝6，解得ω＝，‎ 又因为f(0)＝1，所以2sin φ＝1，‎ 解得sin φ＝，‎ 因为0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝，‎ 结合图象φ＝不符合题意，(舍去)，故φ＝，所以f(x)＝2sin.‎ 又f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)，‎ 而f(1)＝2sin＝－1.‎ 答案：－1‎ 类型二　三角函数性质及应用 ‎[典例2]　(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z)‎ B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z)‎ D．x＝＋(k∈Z)‎ 解析：通解：写出解析式求对称轴．‎ 函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin 2，令2＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B.‎ 优解：由对称轴平移得对称轴．‎ y＝2sin 2x的对称轴为x＝＋π，向左平移个单位长度得x＝－＋π＝＋.(k∈Z)，故选B.‎ 答案：B ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ 解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以－＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在单调，∴≥－即T≥，‎ ‎∴＝T≥，即k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.‎ 答案：B 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 ‎1．求单调区间的两种方法 ‎(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．‎ ‎2．判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎3．三角函数的周期的求法 ‎(1)定义法；‎ ‎(2)公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(3)利用图象．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)‎ A．1　　 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选B.由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2，故选B.‎ ‎2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)‎ A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减 C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增 解析：通解：选A.f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)‎ ‎＝sin，‎ ‎∵T＝＝π，∴ω＝2.又f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝·sin＝cos 2x，‎ 令2kπ＜2x＜2kπ＋π 得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)在上单调递减，故选A.‎ 优解：由f(x)＝sin知T＝＝π，‎ ‎∴ω＝2.‎ 又∵f(x)为偶函数，∴φ＋＝，∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝cos 2x依据图象特征可得f(x)在上单调递减．‎ 大题规范——学会踩点　规范解答 类型三　三角函数的图象与性质的综合应用 ‎[典例3]　(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sincosωx(0＜ω＜2)，且f(x)的图象过点.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，已知g＝，求cos的值．‎ 解：(1)f(x)＝2sincos ωx＝3sin ωxcos ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ‎＝sin＋，4分　 因为函数y＝f(x)的图象过点，‎ 所以sin＝0，∴ω＋＝kπ，‎ ‎∴ω＝(k∈Z)，因为0＜ω＜2，∴ω＝1，‎ 所以f(x)＝sin＋.6分　 ‎∴T＝＝π7分　 ‎(2)g(x)＝f＝sin＋9分　 ‎∴g＝sin＋＝，‎ 所以sin＝，10分　 所以cos＝1－2sin2＝.12分　 评分细则及说明：‎ ‎①此点包括三点：和角正弦展开，余弦降幂，辅助角公式，只有各点都正确，才得4分，从前到后，依次得分 ‎②正确求出w＝1，可得2分．(不必写出f(x)表达式)‎ ‎③正确写出周期，得1分 ‎④有平移过程和平移结果各得1分 ‎⑤正确求出sin得1分 ‎⑥有公式应用过程，结果正确各得1分 三角函数解析式化简的基本思路 ‎1．将“sin xcos x”化为sin 2x，将sin2x或cos2x降幂．‎ ‎2．函数解析式成为“asin x＋bcos x”后，利用辅助角公式化为sin(x＋φ)，.‎ ‎3．利用整体思想，对于sin(ωx＋φ)型的三角函数．视“ωx＋φ”为整体，利用sin x的性质来求解．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．(2017·山东德州一模)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调增区间．‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ 解：(1)由题意得f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin，‎ 由最小正周期为π，得ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象，‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋π＝π.‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)‎ A.　 B．1‎ C. D. 解析：选A.解法一：∵f(x)＝sin＋cos ‎＝＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＝sin，‎ ‎∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.‎ 解法二：∵＋＝，‎ ‎∴f(x)＝sin ＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝sin≤.‎ ‎∴f(x)max＝.故选A.‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解析：选D.因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.‎ ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 解析：因为y＝sin x－cos x＝2sin，所以函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到．‎ 答案： ‎4．(2017·高考山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，‎ 所以ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈.‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ 考点二　三角恒等变换与解三角形 ‎1．诱导公式都可写为sin或cos的形式．‎ 根据k的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．‎ ‎2．公式的变形与应用 ‎(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ ‎(2)升幂公式 ‎1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；‎ ‎(3)降幂公式 sin2α＝；cos2α＝；‎ ‎(4)其他常用变形 sin 2α＝＝；‎ cos 2α＝＝；‎ ‎1±sin α＝2；‎ tan＝＝.‎ ‎3．三角形面积S＝(R为外接圆半径)．‎ S＝(a＋b＋c)r(r为内切圆半径)．‎ S＝.‎ ‎4．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B.‎ ‎5．(1)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，sin A＞cos B，cos A＜sin B，a2＋b2＞c2；‎ ‎(2)若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜，sin A＜cos B，cos A＞sin B.‎ ‎6．在△ABC中，ccos B＋bcos C＝a.‎ ‎7．sin A＝sin(B＋C)，sin ＝cos .‎ ‎8.＝＝＝.‎ 小题速解——不拘一格　优化方法 类型一　三角恒等变换及求值 ‎[典例1]　(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析：通解：将θ－转化为－.‎ 由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以 cos>0，所以cos＝＝.‎ tan＝tan＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ 优解：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，在Rt△ACB中，不妨设∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan＝－tan B＝－.‎ 答案：－ ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C．1 D. 解析：通解：弦化切tan α＝ ，‎ 则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ 优解：猜想sin α及cos α的值．‎ 根据勾股数3,4,5及tan α＝＝ 可猜得sin α＝，cos α＝ ‎∴cos2α＋4sin αcos α＝2＋4××＝，故选A.‎ 答案：A ‎(3)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：通解：由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.‎ 优解一：∵tan ＝，‎ 由tan α＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.‎ 把β＝2α－代入 ＝＝＝tan α，‎ 题设成立．故选C.‎ 优解二：＝＝tan ‎∴tan α＝tan 又∵α∈，β∈，∴∈，‎ ‎∴＋∈，∴α＝＋，‎ ‎∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.‎ 答案：C ‎[母题变式]‎ 在本例(2)中，求sin2α＋2cos 2α的值．‎ 解：sin2α＋2cos 2α＝ ‎＝＝＝.‎ ‎1．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂；‎ ‎(4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类．‎ ‎2．解决条件求值问题的三个关注点 ‎(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；‎ ‎(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示；‎ ‎(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．‎ 解析：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.‎ ‎∴2sin αcos α－cos2α＝ ‎＝＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎2．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α等于(　　)‎ A. B．－ C．－ D. 解析：选D.(1)由sin＝，‎ 得sin αcos－cos αsin＝，‎ 即sin α－cos α＝，①‎ 又cos 2α＝，所以cos2α－sin2α＝，‎ 即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝，‎ 因此cos α＋sin α＝－.②‎ 由①②得sin α＝，故选D.‎ ‎3．若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.＝ ‎＝＝ ‎＝，‎ ‎∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故选C.‎ 类型二　正、余弦定理的简单应用 ‎[典例2]　(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC 边上的高等于BC，则sin A＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：通解：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sin A＝，故选D.‎ 优解：设出BC长度求边，用正弦定理求sin A.‎ 设BC＝3，则高AD＝BD＝1，DC＝2.‎ ‎∴AC＝，‎ ‎∴sin A＝＝.‎ 答案：D ‎(2)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ 解析：通解：∵a＝2，又(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，‎ ‎∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.‎ ‎∴＝＝＝cos A，又0＜A＜180°，‎ ‎∴∠A＝60°.‎ ‎∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，‎ ‎∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.‎ 优解：求出A＝60°，由＝2R＝＝可知，‎ ‎△ABC的外接圆大小确定，要使三角形面积最大，当且仅当顶点A到BC的距离最大，即为等边三角形时，S＝×22×sin 60°＝.‎ 答案： ‎1．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B ‎，即()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D.或 解析：选D.sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，即2sin Bcos A＝6sin Acos A．当cos A＝0时，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面积公式知S＝bc＝；当cos A≠0时，由2sin Bcos A＝6sin Acos A可得sin B＝3sin A，根据正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cos C＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝absin C＝.综上可得三角形的面积为或，所以选D.‎ 大题规范——学会踩点　规范解答 类型三　正余弦定理的综合应用 ‎[典例3]　(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝－3cos Acos B，tan Atan B＝1－，c＝.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若＋＝1，求△ABC的周长与面积．‎ 规范解答：(1)由sin C＝－3cos Acos B可得sin(A＋B)＝－3cos Acos B，‎ 即sin Acos B＋cos Asin B＝－3cos Acos B，因为tan Atan B＝1－，所以A，B≠，两边同时除以cos Acos B，得到tan A＋tan B＝－3，因为tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，tan(A＋B)＝＝＝－，所以tan C＝，3分　 又0＜C＜π，所以C＝.4分　 根据正弦定理得＝＝＝＝，‎ 故a＝sin A，b＝sin B，5分　 故＝＝.6分　 ‎(2)由(1)及余弦定理可得cos＝，‎ 因为c＝，所以a2＋b2－10＝ab，即(a＋b)2－2ab－10＝ab，8分　 又由＋＝1可得a＋b＝ab，故(ab)2－3ab－10＝0，解得ab＝5或ab＝－2(舍去)，‎ 此时a＋b＝ab＝5，所以△ABC的周长为5＋，10分　 ‎△ABC的面积为×5×sin＝，12分　 评分细则及说明：‎ ‎①由已知条件及两角和正切公式推出tan C＝得3分；‎ ‎②由0＜C＜π得出角C得1分；‎ ‎③由正弦定理推出a，b表达长得1分；‎ ‎④求出的值得1分；‎ ‎⑤利用(1)中C＝及余弦定理推出(a＋b)2－2ab－10＝ab得2分；‎ ‎⑥由＋得a＋b＝ab等推出△ABC的周长得2分；‎ ‎⑦求出△ABC的面积得2分．‎ ‎1．注意利用第(1)问中的结果：在题设条件下，如果第(1)问中的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问中的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问中的基础上求解．‎ ‎2．写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分．‎ ‎[自我挑战]‎ ‎1．(2017·山东青岛二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,2acos C＋2ccos A＝a＋c.‎ ‎(1)若＝，求的值；‎ ‎(2)若C＝，且c－a＝8，求△ABC的面积S.‎ 解：(1)∵2acos C＋2ccos A＝a＋c 由正弦定理：2sin Acos C＋2sin Ccos A＝sin A＋sin C ‎∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)＝2sin(π－B)＝2sin B ‎∴a＋c＝2b　①‎ ‎∵＝，∴＝　②‎ 由①②得：＝.‎ ‎(2)∵c－a＝8，a＋c＝2b，‎ ‎∴b＝a＋4，c＝a＋8，‎ ‎∵C＝.‎ 由余弦定理得：(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)cos，‎ 解得：a＝6，∴b＝10.‎ 所以S＝absin C＝×6×10×＝15.‎ 类型四　三角形的交汇问题 ‎[典例4]　(2017·山东济南模拟)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝3，g＝ ‎，sin B＝cos A，求b的值．‎ 解：(1)由题意：m＋n＝(sin x＋cos x，)，‎ ‎∴f(x)＝(m＋n)·m＝·(sin x，－1)‎ ‎＝sin2x＋sin x·cos x－ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由题意知g(x)＝sin＝sin 2x，‎ ‎∴g＝sin A＝，∴sin A＝，‎ ‎∴cos A＝±，‎ ‎∵在△ABC中，sin B＝cos A＞0，∴sin B＝.‎ 由正弦定理：＝，‎ ‎∴b＝＝＝3.‎ 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. ‎ ‎[自我挑战]‎ 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin(A＋C)，)，向量n＝，且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若sin Asin C＝sin2B，求a－c的值．‎ 解：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)＝cos 2B，‎ ‎∴－2sin Bcos B＝cos 2B，－sin 2B＝cos 2B ‎∵cos 2B≠0，∴tan 2B＝－，‎ ‎∵0＜B＜，0＜2B＜π，∴2B＝.B＝ ‎(2)∵sin Asin C＝sin2B，∴由正弦定理得：ac＝b2.‎ 又b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2＋c2－ac＝ac，‎ 即(a－c)2＝0.‎ ‎∴a－c＝0.‎ ‎1．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A.　　 B. C．－ D．－ 解析：选D.通解：因为cos＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.‎ 优解：因为cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选D.通解：由tan θ＝－，得sin θ＝－，cos θ＝或sin θ＝，cos θ＝－，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，故选D.‎ 优解：cos 2θ＝＝＝＝.‎ ‎3．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.‎ 解析：通解：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，‎ 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin (A＋C)．‎ 又A＋C＝π－B.‎ ‎∴2sin Bcos B＝sin (π－B)＝sin B.‎ 又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.‎ 优解：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，‎ ‎∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.‎ 又0b，∴B＝45°，‎ ‎∴A＝180°－60°－45°＝75°.‎ 答案：75°‎ ‎5．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ 解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，‎ 故sin B＝4(1－cos B)．‎ 上式两边平方，整理得17 cos2B－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝.‎ 故cos B＝.‎ ‎(2)由cos B＝得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.所以b＝2.‎