专题14+坐标系与参数方程大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品 13页

专题十四 极坐标与参数方程大题 （一） 命题特点和预测：‎ 分析近8年全国新课标1坐标系与参数方程大题，发现8年8考，主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程与普通方程互化，考查利用极坐标、直线的参数方程、椭圆的参数、圆的参数方程处理弦长或最值等问题，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程与普通方程互化，考查利用极坐标、直线的参数方程、椭圆的参数、圆的参数方程处理弦长或最值等问题，难度为基础题.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 ‎2018年 ‎【2018新课标1,文22】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎2017年 ‎【2017新课标1，文22】[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎2016年 ‎【2016新课标1，文23】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.‎ ‎（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎2015年 ‎【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆： ,以坐标原点为极点， ‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎2014年 ‎【2014课标Ⅰ，文23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线，直线：（为参数）. ‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； ‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎2013年 ‎【2013课标全国Ⅰ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ ‎2012年 ‎【2012全国，文23】选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ ‎2011年 ‎【2011全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎（2017年）【解析】（1）曲线的普通方程为．‎ 当时，直线的普通方程为．‎ 由解得或 从而与的交点坐标为，．‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎．‎ 当时，的最大值为．由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为．由题设得，所以．‎ 综上，或．‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎（2016年）【解析】（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ ‎【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 ‎【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.‎ ‎（2015年）【解析】（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 ‎（2014年）【解析】（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．‎ ‎（II）曲线C上任意一点到的距离为．则 ‎．其中为锐角，且．‎ 当时，取到最大值，最大值为．‎ 当时，取到最小值，最小值为．‎ ‎（2013年）【解析】(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ ‎（2012年）【解析】(1)由已知可得A(，)，‎ B(，)，‎ C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，‎ D(，)，‎ 即A(1，)，B(，1)，C(－1，)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，‎ 则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1.‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎2.‎ 已知平面直角坐标系，直线过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的参数方程和圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与圆交于、两点，若，求直线的倾斜角的值.‎ ‎3.‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，过点的直线的参数方程，直线与曲线分别相交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得成等比数列，并对你的结论说明理由．‎ ‎4.‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的参数方程.‎ ‎5.‎ 在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，若，求的值．‎ ‎6‎ 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线（t为参数)，曲线 ‎(1)求曲线的直角坐标方程； ‎ ‎(2)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.‎ ‎7‎ 在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）设与，异于原点的交点分别是，求的面积.‎ ‎8‎ 在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.‎ ‎9‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．‎ ‎10‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为 求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ 若把曲线上给点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【解析】（1）依题意，曲线的普通方程为，‎ 即，故，故，‎ 故所求极坐标方程为；‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数），‎ 将此参数方程代入中，‎ 化简可得，‎ 显然.设所对应的参数分别为，，则.‎ ‎∴.‎ ‎2.【解析】（1）因为直线过点，且倾斜角为，‎ 所以直线的参数方程为（为参数），‎ 因为圆的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 所以圆的普通方程为：，‎ 圆的标准方程为：.‎ ‎（2）直线的参数方程为，代入圆的标准方程得，‎ 整理得，‎ 设、两点对应的参数分别为、，则恒成立，，=-4<0‎ 所以，.‎ 因为，所以或.‎ ‎3.【解析】（1）,，‎ ‎（2）将代入，‎ 得，‎ 设两点对应的参数分别为，由韦达定理，得，，‎ 所以得，‎ 得从而，‎ 化简得，而此方程无解，故不存在实数．‎ ‎4.【解析】（1）由得即,‎ 即 即 即 即 ‎（2）设直线l的参数方程为（t为参数，∈[0，π））．‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：‎ 设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则 因为，所以 由解得 ‎，因为∈[0，π），所以或 所以直线的参数方程为：‎ ‎（t为参数）‎ ‎5.【解析】（1）∵直线的参数方程为（为参数，为常数），‎ 消去参数得的普通方程为：即． ‎ ‎∵，∴即，即．‎ 故曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）法一：将直线的参数方程代入曲线中得，‎ ‎∴．‎ 法二：将代入曲线 化简得：,‎ ‎∴．‎ ‎6.【解析】（1）由，，代入曲线 得，即 ‎（2）将代入得，，‎ 设直线上的点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以中点M的轨迹方程为（为参数），‎ 消去参数，得M点的轨迹的普通方程为 ‎7.【解析】（1）由 得，‎ 化为.‎ 即.‎ 因为，，‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎（2）因为直线的斜率为，即倾斜角为，‎ 所以其极坐标方程为.‎ 设，.‎ 由，‎ 得，‎ 即，‎ 由，‎ 得，‎ 即.‎ 由的极坐标方程得，‎ 所以，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以的面积为.‎ ‎8.【解析】(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，‎ 设曲线上任意一点关于直线对称点为，‎ 所以 ‎ 又因为，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为：‎ 法二：由题可知，的极坐标方程为： ，‎ 设曲线上一点关于 的对称点为，‎ 所以 ‎ 又因为，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为：‎ ‎(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：‎ 设，‎ 所以解得，解得 因为：，所以 当即时，，取得最大值为：‎ ‎9.【解析】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 将，代入上式并化简得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 消去参数可得直线的普通方程为．‎ ‎（2）设，由点到直线的距离公式得 ‎，‎ 由题意知，‎ 当时，，得，‎ 当时，|，得；‎ 所以或．‎ ‎10.【解析】（1）由（t为参数），得，即.故直线的普通方程是.‎ 由，得，即.‎ 代入得.故曲线的直角坐标方程是.‎ ‎（2）曲线的直角坐标方程化为参数方程是（为参数），若把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，‎ 纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线的参数方程（为参数）.‎ 由点到直线的距离公式得，点到直线的距离是，‎ 其中.‎ 当时，取得最大值，且最大值为.‎