2019-2020学年江苏省宿迁市高一上学期期末数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年江苏省宿迁市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求再与进行并集运算，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的基本运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2．计算的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用诱导公式进行计算，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，即可得答案.‎ ‎3．已知扇形的弧长是6，半径为3，则扇形的圆心角的弧度数是( )‎ A．1 B．2 C．或2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用弧度公式，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧度公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4．函数的定义域为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据被开方数大于等于0，直数大于0，解不等式，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵.‎ ‎∴函数的定义域为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5．若幂函数的图象过点，则值是( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数的定义易得，再由函数过点，代入解析式可得，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由幂函数，∴，‎ ‎∵函数过点，∴，‎ ‎∴.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义，考查对概念的理解和运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．函数的图象是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.‎ ‎【考点】函数的图象与性质．‎ ‎7．定义在上的函数则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用时，得，再利用，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵时，，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数的部分周期性的应用.‎ ‎8．已知函数，不等式的解集是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，从而将不等式等价于，解不等式，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的定义域为，关于原点对称，且，‎ ‎∴为偶函数，∴，‎ ‎∵在递减，在递减，‎ ‎∴在递减，‎ ‎∴或，即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意的运用.‎ 二、多选题 ‎9．已知，则下列结论正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】利用换元法求出的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 令，∴.‎ ‎∴.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10．已知集合，.若，则实数的值可能是( )‎ A． B．1 C．2 D．5‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由，利用数轴法可得时的取值范围，再将答案代入验证，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴可能取；‎ 故选：AB.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用集合间的关系求参数的范围，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎11．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 对A，，故A错误；‎ 对B，∵，，由正六边形的性质知，∴，故B正确；‎ 对C，设正六边形的边长为1，则，‎ ‎，‎ ‎∴，式子显然成立，故C正确；‎ 对D，设正六边形的边长为1，，，故D错误；‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.‎ ‎12．已知函数部分自变量､函数值如下表所示，下列结论正确的是( )‎ A．函数解析式为 B．函数图象的一条对称轴为 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数 ‎【答案】BCD ‎【解析】先求出函数的解析式，再求出函数的对称轴和对称中心，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由表格的第1、2列可得：，‎ 由表格的第4、5列可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故A错误；‎ 令，‎ ‎∵，‎ ‎∴是函数图象的一条对称轴，即为的一条对称轴，故B正确；‎ ‎∵，∴是函数图象的一个对称中心，‎ ‎∴ 是函数图象的一个对称中心，故C正确；‎ ‎∵函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为，‎ ‎∴为奇函数，故D正确；‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型三角函数的解析式、对称轴、对称中心、平移变换，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意表格信息的应用.‎ 三、填空题 ‎13．已知向量，，且，则实数的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量平行坐标交叉相乘相等，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．计算的结果是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直接利用指数幂和对数运算法则求解，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 原式.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂和对数运算法则的运用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．若方程在上的解为，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象，可得，再进行消元结合诱导公式，可得，进一步根据求得角的余弦值，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴‎ ‎∵，且，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式、三角函数的图象的对称性，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度的范围，防止符号出错.‎ ‎16．已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数的零点等价于方程的根，再对参数进行分类讨论，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的零点等价于方程的根，‎ 当或，‎ ‎∵函数恰有2个零点，‎ ‎∴在无解，即在无解，‎ 当，即时，方程无解；‎ 当，即时，，∴方程在有解，故不成立；‎ 当，即时，若方程无解，则，∴，‎ 综上所述：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的性质、函数的零点、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ 四、解答题 ‎17．已知在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若，且，求的值.‎ ‎【答案】(1)10;(2)‎ ‎【解析】（1）利用三角函数的定义得，代入所求式子即可得答案；‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系求出，再利用角的配凑法得，两边取余弦函数，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知，，‎ 故. ‎ ‎(2)由，，‎ 得 ‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，已知点，，.‎ ‎(1)当时，求的值;‎ ‎(2)是否存在实数，使与的夹角为?若存在，求出 的值，若不存在，说明理由 ‎【答案】(1)4;(2)，理由见解析 ‎【解析】（1）求出向量的坐标，进而求得的坐标，再利用模的计算公式，即可得答案；‎ ‎（2）利用向量的夹角公式，可得关于的方程，解方程即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎(1)当时，， ‎ 所以 ‎(2)假设存在实数，满足与的夹角为.‎ 因为，‎ 又 ，‎ 所以，，即，‎ 解得.‎ 所以存在实数，使与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模的坐标运算、向量的数量积公式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎19．如图，某正方形公园，在区域内准备修建三角形花园，满足与平行(点在上)，且(单位:百米).设，的面积为(单位:百米平方).‎ ‎(1)求关于的函数解析式 ‎(2)求的最大值，并求出取到最大值时的值.‎ ‎【答案】(1);(2)最大值为百米平方，此时 ‎【解析】（1）将，表示成关于的函数，再利用面积公式，即可得答案；‎ ‎（2）利用三角恒等变换，将化成，再利用的范围的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意得，延长交于点.‎ 因为，且四边形为正方形，‎ 所以，.‎ 在中，‎ 在中，因为所以.‎ 所以 所以 ‎(2)由(1)得，‎ 因为，所以，‎ 所以当，即时，，‎ 答:的最大值为百米平方，此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的面积公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度之间的关系.‎ ‎20．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若为线段上任意一点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；‎ ‎（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在梯形中，因为，，所以，‎ ‎ ‎ ‎;‎ ‎(2)令，‎ 则，即，‎ 令，则，，‎ 所以当时，有最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.‎ ‎21．已知函数，，其中.‎ ‎(1)若函数在上单调递增，求的取值范围;‎ ‎(2)设，求函数的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2) ‎ ‎【解析】（1）由抛物线的对称轴小于等于2，即可得答案；‎ ‎（2）由题意得再分别求出两段函数的最小值，再对求得的最小值作差比较大小，进而得到函数的最值；对分、、三种情况分类讨论，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得，所以的取值范围;‎ ‎(2)‎ ‎①若即，‎ 当时递减，且，‎ 当时最小值为，‎ 此时有，所以;‎ ‎②若即时，‎ 当时在时取得最小值，‎ 当时在时取得最小值为 ‎，‎ 若，则，此时，‎ 若，则，此时;‎ ‎③若即，‎ 当时在时取得最小值，‎ 当时，递增，‎ 此时有，所以;‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象与性质、分段函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意注意对函数进行多级的讨论.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)当时，用定义证明函数在定义域上的单调性;‎ ‎(2)若函数是偶函数，‎ ‎(i)求的值;‎ ‎(ii)设，若方程只有一个解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)(i)，(ii)或 ‎【解析】（1）按单调性的定义证明步骤，任取，再作差判断符号得到 ‎，即可得答案；‎ ‎（2）(i)根据偶函数的定义得恒成立；‎ ‎(ii)将方程中令，将方程化为，再对分、两种情况分类讨论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，函数定义域为，任取，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，故函数在上单调递增;‎ ‎(2)(i)因为函数是偶函数，所以，‎ 即，‎ 即，‎ 所以恒成立，‎ 所以;‎ ‎(ii)由题意得，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 设，则与一一对应，原方程化为，‎ 设，‎ 因为，所以与符号相同，‎ ‎①当时，，则方程在上只有一个正根，‎ 因为开口向上，，，，‎ 当时，所以方程在上只有一个正根;‎ ‎②当时，，则方程在上只有一个正根，‎ 因为开口向下，，，‎ 则，解得，所以，‎ 故当或时，所以方程只有一个正根.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性、方程根的个数求参数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分类讨论的技巧，即确定与符号相同，再对分类讨论.‎