广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题 8页

湛江市第二十一中学高二第二学期开学考试 高中数学(选修2-2、选修2-3)试卷 ‎ 说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数z＝在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设函数f（x）＝x2+x，则＝（　　）‎ A．﹣6 B．﹣‎3 ‎C．3 D．6‎ ‎3．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（　　）种．‎ A．21 B．‎315 ‎C．143 D．153‎ ‎4．曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 ‎ C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0‎ ‎5．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（　　）‎ A．﹣4 B．﹣‎2 ‎C．4 D．2‎ ‎6．在复平面上，满足|z﹣1|＝4的复数z的所对应的轨迹是（　　）‎ A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆 ‎7人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是（　　）‎ A．3600 B．‎5040 ‎C．120 D．2520‎ ‎8．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（　　）种．‎ A．12 B．‎36 ‎C．72 D．108‎ ‎9．已知随机变量X～B（4，p），若P（X＝2）＝，则D（X）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（　　）‎ A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.7 D．0.8‎ ‎11．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”．现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（　　）‎ A．20 B．‎24 ‎C．25 D．26‎ ‎12．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．10 B．‎20 ‎C．30 D．60‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　 　．‎ ‎14．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种．（用数字填写答案）‎ ‎15．已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为　 　．‎ ‎16．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时 ‎（1）z是实数；（2）z是纯虚数；‎ ‎（3）z对应的点在第二象限．‎ ‎18．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为，，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时．‎ ‎（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学期望E（ξ）；‎ ‎（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．‎ 19. 已知函数 ‎(1)求 的单调减区间 ‎(2)若 在区间 上的最大值为 ,求该区间上的最小值。‎ ‎20．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．‎ 方案一：每满100元减20元；‎ 方案二：满100元可抽奖一次．具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如表：（注：所有小球仅颜色有区别）‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 ‎7折 ‎8折 ‎9折 原价 ‎（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；‎ ‎（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？‎ ‎21 . 函数.‎ ‎（1）当 时，求 的极值；‎ ‎（2）当 时， 恒成立，求实数 的最大值.‎ ‎22．上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52‎ ‎），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；‎ ‎（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X≥2的概率．‎ 附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．‎ 湛江市第二十一中学高二第二学期开学考试 高中数学(选修2-2、选修2-3)答案 ‎ ‎1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【解答】解：∵z＝＝，‎ ‎∴z在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），在第三象限．故选：C ‎2．【考点】61：变化的快慢与变化率．菁优网版权所有 ‎【解答】解：根据题意，＝f′（1），‎ 又由函数f（x）＝x2+x，则f′（x）＝2x+1，则f′（1）＝3；‎ 故＝3；故选：C．‎ ‎3．【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 ‎【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：‎ ‎①一本语文、一本数学，有9×7＝63种取法，‎ ‎②一本语文、一本英语，有9×5＝45种取法，‎ ‎③一本数学、一本英语，有7×5＝35种取法，‎ 则不同的选法有63+45+35＝143种；故选：C．‎ ‎4．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【解答】解：由y＝2sinx+cosx，得y′＝2cosx﹣sinx，‎ ‎∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，‎ ‎∴曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），‎ 即2x+y﹣2π+1＝0．故选：C．‎ ‎5．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；‎ ‎∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；‎ ‎∴x＝2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a＝2．故选：D．‎ ‎6．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【解答】解：设z＝x+yi，‎ 则|x+yi﹣1|＝＝4，∴（x﹣1）2+y2＝16，∴运动轨迹是圆，故选：D．‎ ‎7【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将除甲乙之外的5人全排列，有A55＝120种情况，‎ ‎②，5人排好后，有6个空位，在6个空位中任选2个，安排甲乙，有A62＝30种情况，‎ 则甲乙两人不相邻的排法有120×30＝3600种；故答案为：A．‎ ‎8．【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 ‎【解答】解：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有＝6种，‎ 第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有＝6种，‎ 根据分步计数原理不同的分配方案有6×6＝36种．故选：B．‎ ‎9．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有【解答】解：随机变量X～B（4，p），‎ 由P（X＝2）＝，得•p2•（1﹣p）2＝，‎ 解得p＝或p＝；所以D（X）＝4p（1﹣p）＝4××＝．故选：D．‎ ‎10．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），‎ ‎∴正态分布曲线的对称轴为X＝1，μ＝2，‎ 又P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.3，故选：B．‎ ‎11．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【解答】解：根据题意，现有五种不同的肉，若两种不同的肉混合后，有C52＝10种不同的滋味，若三种不同的肉混合后，有C53＝10种不同的滋味，‎ 若四种不同的肉混合后，有C54＝5种不同的滋味，‎ 若五种不同的肉混合后，有1种不同的滋味，‎ 则有10+10+5+1＝26种不同的滋味，故选：D．‎ ‎12．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1＝，‎ 令r＝2，则（x2+x）3的通项为＝，‎ 令6﹣k＝5，则k＝1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为＝30．故选：C．‎ ‎13．【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有 ‎【解答】解：由f（x）＝eax+ln（x+1），得f'（x）＝，‎ ‎∵f'（0）＝4，∴f'（0）＝a+1＝4，∴a＝3．故答案为：3．‎ ‎14．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4‎ 根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，‎ 方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：16‎ ‎15．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【解答】解：，所以展开式中x3的系数为10．故答案为：10．‎ ‎16．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），‎ 当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，f′（x）＝﹣3，‎ 可得f（1）＝ln1﹣3＝﹣3，f′（1）＝1﹣3＝﹣2，‎ 则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣2（x﹣1），‎ 即为2x+y+1＝0．故答案为：2x+y+1＝0．‎ ‎17．【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有 ‎【解答】解：（1）由题意可得：m2﹣m﹣2＝0，‎ 解得：m＝﹣1或2；‎ ‎（2）由题意可得：m2+m﹣6＝0，且m2﹣m﹣2≠0，‎ ‎∴m＝2或﹣3，且m≠﹣1且m≠2，‎ ‎∴m＝﹣3；‎ ‎（3）由题意可得：，‎ 解得：﹣3＜m＜﹣1．‎ ‎18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 ‎，，，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎ 0‎ ‎ 20‎ ‎ 40‎ ‎ 60‎ ‎ 80‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ξ的数学期望为（元）；‎ ‎（2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为（元）．‎ 解:‎ ‎19.‎ 所以函数的单调减区间为 ‎20．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【解答】解：（1）从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出1个红球的概率，白球的概率为＝，‎ 根据二项分布，抽取3个球该顾客获得7折优惠的概率，‎ 该顾客获得8折优惠的概率，‎ 故该顾客获得7折或8折优惠的概率；‎ ‎（2）若选择方案一，则付款金额为180﹣20＝160，‎ 若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为126，144，162，180，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 则，‎ 因为160＞153，所以选择方案二更为划算．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面，‎ 日期：2020/5/2 11:11:39；用户：冯巧华；邮箱：66142@xyh.com；学号 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/5/2 9:52:31；用户：冯巧华；邮箱：66142@xyh.com；学号：272527521.【详解】（1）时，，则 令，解得当时，，单调递减；当时，，单调递增 极小值为：，无极大值 ‎（2）当时，由得： 令，则 令，解得： ‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增 ‎ 实数的最大值为 ‎ ‎：272‎ ‎22．【解答】解：（1）由题意可知，＝0.012，‎ 该校数学成绩的平均分数为0.1×90+0.24×100+0.3×110+0.16×120+0.12×130+0.08×140＝112．‎ ‎（2）根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）＝0.9974，‎ 所以，即0.0013×10000＝13，‎ 所以前13名的成绩全部在135分以上．‎ 从频率分布直方图中，可知，50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学数量为（0.012+0.008）×10×50＝10人，‎ 成绩在135分（含135分）以上的同学数量为0.008×10×50＝4人，成绩在[125，135）的同学数量为10﹣4＝6人，‎ 而随机变量X的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ P（X≥2）＝，‎ 故X≥2的概率为．‎