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- 2021-06-25 发布
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【训练目标】
1、 理解斜率、倾斜角的概念,会利用多种方法计算斜率,掌握斜率与倾斜角之间的变化关系;
2、 掌握直线方程的5种形式,熟练两直线的位置关系的充要条件,并且能够熟练使用点到直线的距离,两点间的距离,两平行间的距离公式;
3、 识记圆的标准方程和一般方程,掌握两个方程的求法;
4、 掌握直线与圆的位置关系的判断,圆与圆的位置关系判断;
5、 掌握圆的切线求法,弦长求法,切线长的求法。
6、 掌握椭圆,双曲线,抛物线的定义及简单几何性质;
7、 掌握椭圆,双曲线的离心率求法;
8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系;
9、 掌握圆锥曲线中的定值问题,定点问题,最值与范围问题求法;
【温馨小提示】
本专题在高考中属于压轴题,文科相对简单,只需掌握常见的方法,有一定的计算能力即可;对于理科生来讲,思维难度加大,计算量加大,因此在复习时应该多总结,对于常见的一些小结论加以识记,并采用一些诸如特殊值法,特殊点法加以验证求解。
【名校试题荟萃】
1、设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点,若OA⊥OB,则以下结论恒成立的结论个数为( )
①|OA|·|OB|≥2;②直线AB过定点(1,0);③O到直线AB的距离不大于1.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
2、已知双曲线-=1(a>0,b>0),过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M,N两点(M在第一象限),直线
MO交双曲线左支于点Q(O为坐标原点),连接QN.若∠MPO=120°,∠MNQ=150°,则该双曲线的渐近线方程为__ 。
【答案】y=±x.
【解析】
由题意可知:M,Q关于原点对称,∴kMN · kQN=,∵kMN=,kQN=,∴=1,渐近线方程为y=±x.
3、以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为( )
①曲线与曲线有相同的焦点;
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点,是椭圆的左焦点,则的周长不为定值.
④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点,则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
4、设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由抛物线方程可知其焦点,依题意可设,
∴,,∴,
解得,∴,∴.
5、双曲线上任意一点可向圆作切线,若存在点使得,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
6、若直线与圆的两个交点关于直线对称,则的值分别为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为直线与圆的两个交点关于直线对称,所以直线和直线垂直,即,且直线过圆心,代入得.
7、已知是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称,若对任意的,等式恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
(舍去),故取值范围为.
8、若椭圆上有个不同的点,为右焦点,组成公差的等差数列,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
椭圆上的点到焦点的最大距离为,到右焦点最小距离为,即
,所以,即,即,要使得,且最大,则,所以最大值为.
9、已知,是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
10、如图,为双曲线的左右焦点,且,若双曲线右支上存在点,使得,设直线与轴交于点,且的内切圆半径为,则双曲线的离心率为( )
A. B.4 C. D.
【答案】A
【解析】
因为,且的内切圆半径为,所以,所以,所以,因为图形的对称性可知,,所以,又因为,所以,所以双曲线的离心率为,故选A.
11、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为该抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,当取最小值时,点恰好在以,
为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
代入可得,即,
所以,∴,,
所以双曲线的实轴长为,
双曲线的离心率.
12、已知是双曲线: 的左、右焦点,过点的直线与的左支交于两点,若,且,则的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设 ,则 ,由双曲线的定义有, ,
又 ,所以 都为直角三角形,
由勾股定理有 ,代入有 ,
解得 ,故离心率.
13、已知双曲线的左,右焦点分别是,过的直线与的
右支交于两点,分别是的中点,为坐标原点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
在中:,
整理计算可得:,
在中:,
即,计算可得:,所以.
14、已知是椭圆的左右焦点,是椭圆上任意一点,过作的外角平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.四条线段
【答案】B
15、已知抛物线的焦点为,点与关于轴对称,点在抛物线上且,则的周长为_________.
【答案】
【解析】
由题意,,,作垂直抛物线的准线,垂足为,记,则,故,即,,代入解析式中有,,所以的周长为.
16、过抛物线上任意一点向圆作切线,切点为,则的最小值等于______.
【答案】
17、已知是抛物线上的点,则的最大值是________.
【答案】
【解析】
,表示抛物线上的一点到的距离与到准线的距离之差,如图所示,设抛物线的焦点为,因此
,故
,当且仅当,,三点共线时等号成立.
18、若曲线与曲线由四个不同的交点,则实数的取值范围是________.
【答案】
当直线与圆相切时,
圆心到直线的距离,∴.
则直线与圆相交时,.
19、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则的最大是_________.
【答案】
【解析】
圆的方程为:,即圆是以为圆心,为半径的圆;又直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆与直线
有公共点即可.设圆心到直线的距离为,则,即,∴,∴的最大值是.
20、在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上,若圆上存在点,使,则圆心的横坐标的取值范围为_________.
【答案】
21、已知椭圆的离心率是,过椭圆上一点作直线交椭圆于两点,且斜率分别为,若点关于原点对称,则的值为__________.
【答案】
【解析】
设,则由点差法得.
因此,因为离心率是,所以,从而.
22、点在椭圆上运动,分别在两圆和上运动,则的最小值为___________.
【答案】2
23、直线与椭圆:相交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,如果,是线段的两个三等分点,则直线的斜率为_________.
【答案】
【解析】
由题意,设直线的方程为,,,则,,由方程组得,
所以,由韦达定理,得, .由,是线段的两个三等分点,得线段的中点与线段的中点重合.
所以 ,解得 .
24、过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点,为坐标原点,若,则双曲线的离心率为________.
【答案】
设,根据焦半径公式可得:,所以,
代入抛物线方程,又,.
根据勾股定理,,
整理为,
整理为,解得.
25、已知双曲线的渐近线方程为,焦点为,若过双曲线上一点分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形,则四边形的面积为_________.
【答案】
【解析】
由焦点为可设双曲线的标准方程为,则.又双曲线的渐近线方程为,所以,所以双曲线的标准方程为.过双曲线上一点分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形,则四边形为平行四边形,又两条渐近线互相垂直,所以为矩形,所以四边形的面积.设,则,即,所以.
26、已知,是圆(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交直线于,则动点的轨迹方程为__________.
【答案】
27、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,若,则 的面积为__________.
【答案】
【解析】
,由抛物线定义得,
当时,,直线的方程为,
与抛物线联立方程组可得,
因此 的面积为,
对于,可得 的面积为.
28、已知斜率为的直线与椭圆相交于两点,且的中点为,则椭圆的离心率为_________.
【答案】
【解析】
设,,则,即.
29、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦,若弦的中点分别为,则直线恒过定点________.
【答案】
30、如图,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于点.若为等边三角形,则双曲线的离心率为_________.
【答案】