数学文卷·2018届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试（2018 16页

菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试 数学（文科）‎ ‎ 2018.3‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ ‎4.本卷命题范围：高考范围。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则=‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足（是虚数单位），则=‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若在范围上随机取一个数a，则事件“”发生的概率为 A.0 B.1 C. D.‎ ‎4.若，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D.‎ ‎5.若椭圆经过点，随椭圆的离心率=‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知在等差数列中，，，，若 ‎，且，则的值为 A.9 B.11 C.10 D.12‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则内应该填 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.对于四面体，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为，其中正确的命题是 A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知F是双曲线C：的右焦点，P是轴正半轴上一点，以OP（O为坐标原点）为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M.若点P，M，F三点共线，且△MFO的△PMO的面积的3倍，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D.2‎ ‎12.已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知角的终边经过点，则的值为_________.‎ ‎14.已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD=3DC，点E为AD的中点，，则=_________.‎ ‎15.若实数，满足，则的最小值是_________.‎ ‎16.已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的，总有成立，则实数的取值范围为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12 分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的周长为5，求的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度（单位：cm）的情况如表1：‎ ‎900‎ ‎700‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎0.5‎ ‎3.5‎ ‎6.5‎ ‎9.5‎ 该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2：‎ 频数（天）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（1）设，若与之间是线性关系，试根据表1的数据求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：‎ 日均收入（元）‎ ‎-2000‎ ‎-1000‎ ‎2000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ 根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.‎ 附参考公式：，其中，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在矩形中，AB=2AD，为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.‎ ‎（1）当AB=2时，求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：BM⊥AD.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知曲线：，曲线：，直线与曲线交于，两点，O为坐标原点.‎ ‎（1）若，求证：直线恒过定点；‎ ‎（2）若直线与曲线相切，求（点P坐标为）的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数在x=2处取得极值，求的极大值；‎ ‎（2）若对成立，求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，若对任意不等式成立，求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试·数学（文科）‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1.B 因为，，所以 ‎.故选B.‎ ‎2.D 由，得，所以 ‎.故选D.‎ ‎3.C 根据几何概型概率计算公式，得事件“”发生的概率.‎ 故选C.‎ ‎4.A 因为，所以，所以由幂函数的性质得，由指数函数的性质得，因此，故选A.‎ ‎5.D 由题意易得，即，所以椭圆的离心率. ‎ 故选D.‎ ‎6.B 因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为，所以，解得，所以公差，所以 ‎，解得或（舍）.故选B.‎ ‎7.C 输入，则，，不符合；，则， ，不符合；，则，，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内填输出，故选C.‎ ‎8.D ①正确，若AB=AC=AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；‎ ‎②不正确，如图，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；‎ ‎③正确，如图，若AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则四面体的四个面均为直角三角形；‎ ‎ ‎ ‎④正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式 ‎，解得，那么内切球的表面积. 故正确的命题是①③④.故选D.‎ ‎11.D 由题意，得OM⊥PF，PM:PF=1:3，OF=c，OM=a，MF=b，，，‎ 即，所以.故选D.‎ ‎12.B ∵，当时，，无极值；当时，易得在处取得极大值，则有，即，于是，.当时，，在上不存在极小值.当时，易知在处取得极小值，依题意有 解得.故选B.‎ ‎13.-39 ∵角的终边经过点，∴，，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎14. 如图：‎ ‎ ‎ ‎.又，‎ 所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.‎ ‎15. 不等式可表示为如图所示的平面区域.‎ ‎ ‎ 为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当时，取得最小值.‎ ‎16. 令，得；令，可得；令，可得.故，即.由对任意恒成立，得对任意恒成立，又.所求实数的取值范围为.‎ ‎17.解（1）∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎（2）据（1）求解知，.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ 又据（1）求解知，‎ ‎∴的面积.‎ ‎18.解：（1），，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴，，‎ ‎∴关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为（元）.‎ ‎19.解：（1）取AM的中点N，连接DN.‎ ‎∵在矩形中，为DC的中点，AB=2AD，‎ ‎∴DM=AD.‎ 又N为AM的中点，‎ ‎∴DN⊥AM.‎ 又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，‎ ‎∴DN⊥平面ABCM.‎ ‎∵AD=1，∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ 证明：（2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.‎ 又平面ABCM，‎ ‎∴BM⊥DN.‎ 在矩形中，AB=2AD，M为MC中点，‎ ‎∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，‎ ‎∴BM⊥AM.‎ 又DN，平面ADM，，‎ ‎∴BM⊥平面ADM.‎ 又平面ADM，‎ ‎∴BM⊥AD.‎ ‎20.证明：（1）设：，.‎ 由得.‎ ‎∴，.‎ ‎∴，.‎ 又，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴直线方程为，‎ ‎∴直线恒过点.‎ 解：（2）设方程为，∵直线与曲线相切，‎ ‎∴.‎ ‎∴，整理得.①‎ 又点P坐标为，∴由（1）及①，得 ‎.‎ ‎∴，即的取值范围是.‎ ‎21.解：（1）∵，∴.‎ 又∵函数在处取得极值，‎ ‎∴，解得.‎ 当时，.‎ 令，则，∴，.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 的极大值为.‎ ‎（2）据题意，得对恒成立.‎ 设，则.‎ 讨论：‎ ‎（i）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间为.‎ ‎∴，且.‎ ‎∴，解得；‎ ‎（ii）当时，由得函数单调减区间；由得函数单调增区间为，，‎ 又，，不合题意.‎ ‎（iii）当时，，在上单调递增，‎ 又，，不合题意.‎ ‎（iv）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间，，‎ 又，，不合题意.‎ 综上，所求实数a的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为.‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的普通方程为，即.‎ ‎（2）设为曲线上一点，‎ 则点到曲线的圆心的距离 ‎.‎ ‎∵，∴当时，d有最大值.‎ 又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎23.解：（1）因为，‎ 所以即为，整理得.‎ 讨论：‎ ‎①当时，，即，解得.‎ 又，所以.‎ ‎②当时，，即，解得.‎ 又，所以.‎ 综上，所求不等式的解集为.‎ ‎（2）据题意，得对任意恒成立，‎ 所以恒成立.‎ 又因为，所以.‎ 所以，解得.‎ 所以所求实数m的取值范围是.‎