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  • 2021-06-25 发布

【数学】江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二下学期线上测试(理)(解析版)

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江西省南昌市进贤一中 2019-2020 学年 高二下学期线上测试(理) 一、单选题(每小题 5 分,共 60 分) 1.在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是(  ) A.(1,﹣5,6) B.(1,5,﹣6) C.(﹣1,﹣5,6) D.(﹣1,5,﹣6) 2.下列说法中错误的是( ) A.正棱锥的所有侧棱长相等 B.圆柱的母线垂直于底面 C.直棱柱的侧面都是全等的矩形 D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形 3.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为( ) A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球挖去一个长方体 4.已知某圆锥的轴截面为一等腰 ,其中 ,则该圆锥 的体积为( ) A. B. C. D. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( ) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 6.如图,空间四边形 OABC 中,向量 , , ,且 , ,则 等于( ) (题目 OA,OB,OC,a,b,c,上面的符号是向量符号,选 项 a,b,c 上面的 r 是向量符号) ( )1,5,6P xoy Q ABC 5, 4AB AC BC= = = 2 21 3 π 21π 4 21 3 π 2 21π 3 4 3 8 6 8 6 16 OA a=  OB b=  OC c=  2OM MA= BN NC= MN A. B. C. D. 7.设 是不同的直线, 是不同的平面,则( ) A.若 , ,则 B.若 , , ,则 C.若 , , ,则 D.若 , , ,则 8.在直三棱柱 中,己知 , , ,则异面 直线 与 所成的角为( ) A. B. C. D. 9.已知 ,点 在直线 上运动,则当 取得最小值时,点 的坐标为(  )(注 OA,OB,OP,QA,QB 上的符号是向量符号) A. B. C. D. 10.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 的中点, 则点 E 到平面 ACD1 的距离为(  ) A. B. C. D. 11.在正方体 中, 是棱 的中点,则对角线 与平面 所成 的角的正弦值为( ) A. B. C. D. 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外 接球的表面积为( ) 2 2 1 3 3 2a b c+ +   1 2 2 1 2 1a b c+ −   1 2 2 1 3 2a b c− + +   1 2 3 1 2 2a b c− +   ,m n ,α β / /m α n ⊂ α //m n mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥ / /m α / /n β //m n / /α β m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥ 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC 1 1A B 30° 45° 60° 90° ( ) ( ) ( )1,2,3 , 2,1,2 , 1,1,2OA OB OP= = =   Q OP QA QB⋅  Q 1 3 1, ,2 4 3      1 3 3, ,2 2 4      4 4 8, ,3 3 3      4 4 7, ,3 3 3      1 2 2 2 1 3 1 6 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC 1BD BDE 6 3 3 3 2 3 1 3 A. B. C. D. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 , ,且 ,则 ________.(注 a,b 上的符号是 向量符号) 14.如图,二面角 等于 , 、 是棱 上两点, 、 分别在半平面 、 内, , ,且 ,则 的长等于______. 15.一个火柴盒长、宽、高分别为为 、 、 ,一只蚂蚁从火柴盒的一个角 处, 沿火柴盒表面爬到另一个角 处,所经过的最短路径长为__________ . 16.如图,二面角 的大小是 60°,线段 . , 与 所成的角为 30°.则 与平面 所成的角的正弦值是 . 29π 34π 41π 50π ( )2,1,3a = ( )4,2,b x= − a b⊥  a b− =  lα β− − 120° A B l AC BD α β AC l⊥ BD l⊥ 1AB AC BD= = = CD 3cm 2cm 1cm A B cm lα β− − AB α⊂ B l∈ AB l AB β 三、解答题 17.(10 分)如图四边形 ABCD 为梯形, ,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 18.(12 分)在三棱锥 中, 和 是边长为 的等边三角形, , 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求证: 平面 . 19.(12 分)如图,在三棱锥 中, , 分别为棱 的中点, 平面 平面 . 求证: (1) ∥平面 ; (2)平面 平面 . / / 90AD BC ABC∠ °, = P ABC− ΔPAC ΔPBC 2 2AB = ,O D ,AB PB / /OD PAC OP ⊥ ABC P ABC− PA AB= ,M N ,PB PC PAB ⊥ PBC BC AMN AMN ⊥ PBC 20.(12 分)如图,等腰梯形 MNCD 中,MD∥NC,MN= MD=2,∠CDM=60°,E 为 线段 MD 上一点,且 ME=3,以 EC 为折痕将四边形 MNCE 折起,使 MN 到达 AB 的位置, 且 AE⊥DC (1)求证:DE⊥平面 ABCE; (2)求点 A 到平面 DBE 的距离 21.(12 分)如图,在四棱锥 P−ABCD 中,AB//CD,且 . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; 1 2 90BAP CDP∠ = ∠ =  (2)若 PA=PD=AB=DC, ,求二面角 A−PB−C 的余弦值. 22.(12 分)如图,在三棱锥 中, , , 为 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角 的正弦值. 90APD∠ =  P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC M PA C− − 30° PC PAM 参考答案 一,选择题:1.B 2 .C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C 11.C 12.B 1.B 【详解】 在空间直角坐标系中, 点 P(1,5,6)关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是(1,5,﹣6). 故选:B. 2.C 【详解】 对于 A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故 A 正确; 对于 B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故 B 正 确; 对于 C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故 C 错误; 对于 D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故 D 正确. 综上可知,错误的为 C 故选:C 3.B 【解析】 【分析】 根据旋转体的定义,即可得出结论. 【详解】 由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱. 故选:B. 4.C 【详解】 根据题意作出圆锥的轴截面图形如下图所示: 其中 为线段 的中点,设底面圆的半径为 , 则 , 故圆锥的体积 , 故选:C. 5.D 【详解】 如图①②所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a,在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= O′C′= a.所以 S△A′B′C′= A′B′·C′D′= ×a× a= a2. 故选:D. 6.C 【详解】 解: , , , , O BC r 2 2 25 4 21AO AB BO= − = − = 21 1 4 214 213 3 3V r h ππ π= = × = 1 2 3 4 2 2 6 8 1 2 1 2 6 8 6 16 BN NC= 1 ( )2ON OB OC∴ = +   2OM MA= 2 3OM OA∴ =  ,故选:C。 7.D 【详解】 对于 A,若 , ,则直线 可以平行,也可以异面,所以 A 错误; 对于 B,因为 不一定能成立,所以当 , , 时, 不一定 成立,所以 B 错误; 对于 C,若 , , ,则 ,或平面 与平面 相交,所以 C 错误; 选项 D:若 , , ,则 成立,所以 D 正确. 故选:D. 8.C 【详解】 连接 , ,如图: 又 ,则 为异面直线 与 所成的角. 因为 且三棱柱为直三棱柱,∴ ∴ 面 , ∴ , 又 , ,∴ , ∴ ,解得 . 故选 C 【点睛】 9.C 21 2 1( )2 3 3 2 1 2MN ON OM OB OC OA a b c∴ = − = + +− = − +         / /m α n ⊂ α ,m n α β⊥ mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥ / /m α / /n β //m n / /α β α β m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥ 1AC 1BC 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B AB BC⊥ , 1AB CC⊥ , AB ⊥ 1 1BCC B 1AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2 1 2 2 2 2 3BC = + = 1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = ° 【详解】 ∵点 Q 在直线 OP 上运动,∴存在实数 λ 使得 (λ,λ,2λ), ∴ , . ∴ (1﹣λ)(2﹣λ)+(2﹣λ)(1﹣λ)+(3﹣2λ)(2﹣2λ) =6λ2﹣16λ+10=6 , 当且仅当 时,上式取得最小值, ∴Q . 故选 C. 10.C 【详解】 以 为坐标原点,直线 分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图所 示: 设 ,则 , , , , 为 的中点,则 , , 设平面 的法向量为 ,则 ,即 可得 OQ OPλ= =  ( )1 2 3 2QA λ λ λ= − − − , , ( )2 1 2 2QB λ λ λ= − − − , , QA QB ⋅ = 24 74( )3 9 λ − + 4 3 λ = 4 4 8 3 3 3     ,, D 1DA DC DD, , x y z, , AE x= ( )1 1 01A ,, ( )1 0 01D ,, ( )1 0E x, , ( )1 0 0A ,, ( )0 2 0C ,, E AB ( )11 0E ,, ( )1 11 1D E∴ = − ,, ( )1 2 0AC = − ,, ( )1 1 01AD = − ,, 1ACD ( )n a b c= , , 1 0 0 n AC n AD  ⋅ = ⋅ =   2 0 0 a b a c − + =  − + = 2a b a c =  = 可取 点 到面 的距离为 故选 11.C 【详解】 如图,将正方体 放入空间直角坐标系中,设边长为 2,可得 为 , 为 , 为 , 为 ,则 , , , 设平面 的法向量 ,则 ,即 , 令 ,则 , 所以 , 则对角线 与平面 所成的角的正弦值为 , 故选:C 12.B 【详解】 由三视图知(结合长方体)该几何体的实物图应为三棱锥 , 故球心肯定在长方体上、下底面的中心连线 上(设上、下底面的中心分别为 . 记球心为点 ,设 ,则 , ( )21 2n = ,, ∴ E 1ACD 1 2 1 2 1 3 3 D E n d n ⋅ + −= = =    C 1 1 1 1ABCD A B C D− D ( )0,0,0 1D ( )0,0,2 B ( )2,2,0 E ( )0,2,1 ( )1 2, 2,2BD = − − ( )2,2,0DB = ( )2,0,1BE = − BDE ( ), ,n x y z= 0 0 n DB n BE  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0 2 0 x y x z + = − + = 1x = ( )1, 1,2n = − 1 1 1 2 2 4 4 2cos , 31 1 4 4 4 4 6 2 3 n BDn BD n BD ⋅ − + += = = = + + ⋅ + + ⋅⋅   1BD BDE 2 3 A BCD− 1 2O O )1 2,O O O 2OO x= 2 2 2 22 2 2 1 1R OO O B OO O A= + = + 结合三视图数据得 ,解得 ,则 , 故该几何体的外接球的表面积为 故选 B. 13. 【详解】 由题,因为 ,所以 ,即 , 所以 ,则 , 所以 , 故答案为: 【点睛】 本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模 14.2 【详解】 ∵A、B 是棱 l 上两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内,AC⊥l,BD⊥l, 又∵二面角 α﹣l﹣β 的平面角 θ 等于 120°,且 AB=AC=BD=1, ∴ , 60°, ∴ 故答案为 2. 2 2 2 25 3(4 )2 2x x   + = − +       3 2x = 2 17 2R = 2 174 4 342Rπ π π= × = 38 a b⊥  8 2 3 0a b x⋅ = − + + = 2x = ( )4,2,2b = − ( )6, 1,1a b− = − ( )226 1 1 38a b− = + − + = 38 0CA AB AB BD⋅ = ⋅ =    CADB = < , > 1 1 60CA BD cos⋅ = × × °  2 2( )CD CA AB BD= + +    2 2 2 2 42 2 =CA AB BD CA AB AB BD CA BD= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅         | | 2CD = 【点睛】 本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题,其中利用 , 结合向量数量积的运算,是解答本题的关键. 15. 【详解】 展开火柴盒所在长方体的表面,使 AB 在同一个矩形的对角线端点, 这样的不同矩形共有三个,其对角线长度分别为: 这种情况对角线长为 , 这种情况对角线长为 , 这种情况对角线长为 所以最短路径 . 故答案为: 【点睛】 此题考查求物体表面的最短路径,常用办法是展开成平面图形,利用两点之间线段最短求最 短路径. 2 2( )CD CA AB BD= + +    3 2 4 16 2 5+ = 1 25 26+ = 9 9 3 2+ = 3 2 3 2 16. 【解析】 试题分析:过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C, 在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D, 连接 AD,有三垂线定理可知 AD⊥l, 故∠ADC 为二面角 α-l-β 的平面角,为 60°, 又由已知,∠ABD=30°, 连接 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角 设 AD=2,则 AC= ,CD=1 AB= =4 ∴sin∠ABC= = ; 故答案为 . 考点:本题主要考查二面角的计算. 点评:基础题,本解法反映了求二面角方法的“几何法”—“一作、二证、三计算”. 17. ;体积 . 【解析】 【分析】 直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台,四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周,形成的 是半球,所以阴影部分绕 旋转一周形成的是组合体,圆台挖去半球, , . 【详解】 3 4 3 0 AD sin30 AC AB 3 4 3 4 68S π=表 140 3 π 圆中阴影部分是一个圆台,从上面挖出一个半球 S 半球= ×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π 故所求几何体的表面积 S 表=8π+35π+25π=68π V 圆台= V 半球= . 故所求几何体的体积 V=V 圆台-V 半球= . 18.(1)答案见解析; (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)要证 平面 ,只需证 ,即可求得答案; (2)要证 平面 ,只需证 , ,即可求得答案. 【详解】 (1) 分别为 的中点, . 又 平面 , 平面 , 平面 . (2)∵ , , 为 中点, , , . 同理, , . / /OD PAC / /OD PA OP ⊥ ABC PO OC⊥ PO AB⊥  ,O D ,AB PB ∴ / /OD PA  PA ⊂ PAC OD ⊄ PAC ∴ / /OD PAC 2AC BC= = 2AB = ∴ AC BC⊥  O AB 2AB = ∴ OC AB⊥ 1OC = PO AB⊥ 1PO = 又 , . . . , , , 平面 . 【点睛】 本题主要考查了求证线面平行和线面垂直,解题关键是掌握线面平行判断定理和线面垂直判 断定理,考查了分析能力,属于中档题. 19.(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 【分析】 (1)证得 MN∥BC,由线面平行的判定定理证明即可;(2)证得 平面 . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】 (1)∵ 分别为棱 的中点,∴MN∥BC 又 平面 ,∴ ∥平面 . (2)∵ ,点 为棱 的中点, ∴ , 又平面 平面 ,平面 平面 ,∴ 平面 . ∵ 平面 ,∴平面 平面 . 【点睛】 本题考查线面平行,面面垂直的判定,考查定理,是基础题 20.(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)等腰梯形中,MD=4,CD=MN=2,利用余弦定理求出 ,由勾股定理得到 CE DE,然后得到 AE⊥平面 CED,所以 ,从而可以得到 DE⊥平面 ABCE.(2) 2PC = ∴ 2 2 2 2PC OC PO= + = ∴ 90POC °∠ = ∴ PO OC⊥  PO OC⊥ PO AB⊥ AB OC O∩ = ∴ PO ⊥ ABC AM ⊥ PBC ,M N ,PB PC BC ⊄ AMN BC AMN PA AB= M PB AM PB⊥ PAB ⊥ PBC PAB ∩ PBC PB= AM ⊥ PBC AM ⊂ AMN AMN ⊥ PBC 3 21 7 CE ⊥ AE DE⊥ 由(1)得到的 CE⊥AE,可求出 的面积,由 DE⊥平面 ABCE,求出三棱锥 的体积,利用勾股定理得到 的长,然后求出 的面积,利用等体积转化,求出点 A 到平面 DBE 的距离. 【详解】 (1)等腰梯形 MNCD 中,MD∥NC,CD= MD=2 ∴MD=4,CD=MN=2, △CED 中,∠CDE=60°,ED=MD-EM=1, 则由余弦定理 ∴CE ,∴CE2+ED2=CD2 ∴CE DE,∴CE ME,CE AE 又 AE⊥DC,DC CE=C, ∴AE⊥平面 CED 而 平面 CED ∴ ,又 ,AE CF=E ∴DE⊥平面 ABCE (2)由(1)因 CE⊥AE,则 因 DE⊥平面 ABCE,则 等腰梯形 MCD 中 MD∥NC,MD=4, CD=MN=2,CE⊥DE,DE=1 则 NC=MD-2DE=2,故 BC=2, ABE△ D ABE− BE BDE 1 2 2 2 2 2 cos60 3CE DE DC DE CD °= + − ⋅ ⋅ = 3= ⊥ ⊥ ⊥  DE ⊂ AE DE⊥ DE CE⊥  1 3 3 2 2ABES BE CE∆ = ⋅ = 1 3 3 2D ABE ABEV S DE− ∆= ⋅ = 2 2 1 77, 2 2BDEBE EC BC S BE ED∆= + = = ⋅ = 设点 A 到平面 DBE 的距离为 h,因 DE⊥平面 ABCE 则 ,得 h= 所以点 A 到平面 DBE 的距离为 【点睛】 本题考查线面垂直的性质和判定,等体积法求点到面的距离,属于中档题. 21.(1)见解析;(2) . 【解析】 【详解】 (1)由已知 ,得 AB⊥AP,CD⊥PD. 由于 AB//CD ,故 AB⊥PD ,从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)在平面 内作 ,垂足为 , 由(1)可知, 平面 ,故 ,可得 平面 . 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐 标系 . 由(1)及已知可得 , , , . 1 3D ABE A DBE BDEV V S h− − ∆= = ⋅ 3 3 2123 77 2 ⋅ = 3 21 7 3 3 − 90BAP CDP∠ = ∠ = ° ⊂ PAD PF AD⊥ F AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD F FA x AB F xyz- 2 ,0,02A       20,0, 2P       2 ,1,02B       2 ,1,02C  −    所以 , , , . 设 是平面 的法向量,则 即 可取 . 设 是平面 的法向量,则 即 可取 . 则 , 所以二面角 的余弦值为 . 【名师点睛】 高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面: ①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角; ②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角; ③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的 坐标是解题的关键. 22.(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC,再通过计算,根据勾股定理得 PO 垂直 OB,最后根 据线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组 解出平面 PAM 一个法向量,利用向量数量积求出两个法向量夹角,根据二面角与法向量夹 角相等或互补关系列方程,解得 M 坐标,再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向 2 2,1,2 2PC  = − −     ( )2,0,0CB = 2 2,0,2 2PA  = −     ( )0,1,0AB = ( ), ,n x y z= PCB 0, 0, n PC n CB  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0,2 2 2 0, x y z x − + − =  = ( )0, 1, 2n = − − ( ), ,m x y z = PAB 0, 0, m PA m AB  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0,2 2 0. x z y  − =  = ( )1,0,1m = 3cos , 3 n mn m n m ⋅= = −     A PB C− − 3 3 − 3 4 量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余得结果. 【详解】 (1)因为 , 为 的中点,所以 ,且 . 连结 .因为 ,所以 为等腰直角三角形, 且 , . 由 知 . 由 知 平面 . (2)如图,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 . 由已知得 取平面 的法向量 . 设 ,则 . 设平面 的法向量为 . 由 得 ,可取 , 所以 .由已知得 . 所以 .解得 (舍去), . 所以 .又 ,所以 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐 标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的 法向量;第四,破“应用公式关”.