【推荐】专题07 空间向量与立体几何（导学案）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金讲练系列 16页

一、学习目标：‎ ‎1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；‎ ‎2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。‎ 二、知识梳理 ‎1.设，，‎ ‎（1）． （2）．‎ ‎（3）若、为非零向量，则．‎ ‎（4）若，则．‎ ‎（5）．（6）．‎ ‎（7），，则．‎ ‎2、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．‎ ‎3、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．‎ ‎4、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．‎ ‎5、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．‎ ‎6、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．‎ ‎7、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．‎ 三、典型例题 例1.给出下列命题：‎ ‎①若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；‎ ‎②若a·b＜0，〈a，b〉为钝角；‎ ‎③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；‎ ‎④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．‎ 其中错误命题的个数是(　　)‎ A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4‎ ‎【答案】　D 变式练习1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________．‎ ‎【答案】　1　 例2.在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面PAD；‎ ‎(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】　以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0， 0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，‎ ‎(1)∵＝(0，1，1)，‎ 平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)，‎ ‎∴·n＝0，即⊥n，‎ 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.‎ ‎【方法规律】空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．‎ 变式练习2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在DB、D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.‎ ‎【答案】　见解析 ‎【解析】　证明　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则 E(，，0)，F(0，，)，‎ 故＝(－，0，)．‎ 又＝(0，a，0)，显然为平面BB1C1C的一个法向量，而·＝(0，a，0)·(－，0，)＝0，‎ ‎∴⊥.又E∉平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.‎ 例3.四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.‎ ‎(1)求AM与PD所成的角；‎ ‎(2)求二面角P AM N的余弦值；‎ ‎(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．‎ ‎∴x1＝0，y1＝2λ，z1＝－2λ＋2，∴M(0，2λ，2－2λ)．‎ ‎∵PC⊥平面AMN，∴⊥，∴·＝0，‎ ‎∴(2，2，－2)·(0，2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝，∴M(0，1，1)．‎ 设N(x2，y2，z2)，∵＝t，∴(x2，y2，z2－2)＝t(2，2，－2)，‎ ‎∴x2＝2t，y2＝2t，z2＝－2t＋2，∴N(2t，2t，2－2t)．‎ ‎∵⊥，∴·＝0，∴(2t，2t，2－2t)·(2，2，－2)＝0，∴4t＋4t－2(2－2t)＝0，‎ ‎∴t＝，∴N(，，)．‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，∴二面角PAMN的余弦值为.‎ ‎(3)∵是平面AMN的法向量，∴CD与平面AMN所成角即为CD与PC所成角的余角．‎ ‎∵·＝(－2，0，0)·(2，2，－2)＝－4，∴cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴直线CD与PC所成角的余弦值为，‎ 即直线CD与平面AMN所成角的余弦值为.‎ ‎【方法规律】利用空间向量确定空间中的线线角、线面角、二面角，避免了利用传统方法求角时先进行角的确定，然后求角的弊端，只需要准确求解直线的方向向量和平面的法向量，代入公式求角即可。‎ 变式练习3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；‎ ‎(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．‎ ‎ 【答案】(1) 90°(2).‎ ‎ ‎ ‎(2)设平面BEC的法向量为n＝(x， y，z)，‎ 又＝(－2，0，0)，＝(－1，－1, )，‎ 则n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0，‎ ‎∴x＝0，取z＝1，则y＝，‎ ‎∴平面BEC的一个法向量为n＝(0, ，1)．‎ ‎∴cos〈，n〉＝＝＝.‎ 设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则sin θ＝，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.‎ 例4.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G，求点D1到平面B1EF的距离d.‎ ⇒令x＝1，得n＝(1，1，－)．‎ 则|·n|＝4，∴d＝＝.‎ ‎∴点D1到平面B1EF的距离为.‎ ‎【方法规律】对利用向量处理距离问题的考查，运用向量求解距离问题，对求点面距，关键是求出平面的法向量，进而利用公式求解．‎ 变式练习4：长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求M到平面AB1P的距离。‎ ‎【答案】‎ ‎∴因此可取，由于，‎ 那么点M到平面的距离为，‎ 故M到平面的距离为。‎ 三、课堂练习 ‎1.已知向量＝(3，－2,1)， =(－2,4,0)，则4＋2等于（ ）‎ A．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4) D．(8,0,4)‎ ‎【答案】　D ‎2．在三棱柱ABCA1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝（ ）‎ A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c ‎【答案】　D ‎【解析】　＝＋＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.故选D。‎ ‎3.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．‎ ‎【答案】　共面 ‎【解析】　＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，设＝x＋y.即(9,14,16)‎ ‎＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴从而A、B、C、D四点共面．‎ ‎4.如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.‎ ‎（1）求DP与所成角的大小；‎ ‎（2）求DP与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（1）因为，‎ 所以，即与所成的角为．‎ ‎（2）平面的一个法向量是．‎ 因为，‎ 所以，可得与平面所成的角为．‎ 四、课后练习 ‎1.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】‎ ‎2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　∵,,‎ ‎.故选B.‎ ‎3.已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为（ ）‎ A．平行四边形 B．梯形C．长方形 D．空间四边形 ‎【答案】　D ‎【解析】由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D。‎ ‎4.⊿ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为 A.5 B. C.4 D.‎ ‎【答案】A ‎5.已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b方向上的投影为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】　向量a在b方向上的投影为：|a|·cosa，b＝×＝.‎ ‎6.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为．‎ ‎【答案】1200‎ ‎【解析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则 ‎∵‎ ‎7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．‎ ‎（1）试用表示出向量；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎【答案】见解析 ‎（2）‎ ‎.‎ 8. 在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．‎ ‎【答案】