2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编八大提分笔记-5立体几何 8页

五、立体几何 ‎1在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．‎ ‎2在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”‎ ‎3计算空间几何体的体积时要注意：①分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；②进行合理的转化和一些必要的等积变换．‎ 附：简单几何体的表面积和体积 ‎(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．‎ ‎(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．‎ ‎(3)S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．‎ ‎(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，‎ S圆锥侧＝πrl(同上)，‎ S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线)．‎ ‎(5)体积公式 V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，‎ V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，‎ V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．‎ ‎(6)球的表面积和体积 S球＝4πR2，V球＝πR3.‎ ‎4空间直线的位置关系 ‎(1)相交直线——有且只有一个公共点．‎ ‎(2)平行直线——在同一平面内，没有公共点．‎ ‎(3)异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．‎ ‎5线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，证明时不要漏写；‎ 证明面面平行时，必须是一个面内的两条相交直线与另一个面平行或是一个面内的两条相交线平行于另一个面内的两条相交线；‎ 证明面面垂直时必须证明一个面内的一条直线垂直于另一个平面，这条直线要选准；‎ 已知面面垂直时，先根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，再得线线垂直．‎ 附：空间的平行关系 ‎(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；‎ ‎(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；‎ ⇒α∥γ；‎ ‎(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；‎ ⇒a∥b；⇒a∥b.‎ 空间的垂直关系 ‎(1)线面垂直：⇒l⊥α；⇒a⊥β；‎ ⇒a⊥β；⇒b⊥α；‎ ‎(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β ‎(3)线线垂直：⇒a⊥b.‎ ‎6注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系，对照前后图形．弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．‎ ‎7几种角的范围 两条异面直线所成的角0°<α≤90°；‎ 直线与平面所成的角0°≤α≤90°；‎ 斜线与平面所成的角0°<α<90°；‎ 二面角0°≤α≤180°；‎ 两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°；‎ 直线的倾斜角0°≤α<180°；‎ 两个向量的夹角0°≤α≤180°；‎ 锐角0°<α<90°.‎ 三视图识图不准确致误 　　已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．‎ ‎[错解]　 ‎[错因分析]　没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．‎ ‎[正解]　 如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥面ABCD且SE＝20.‎ ‎∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝.‎ ‎∴这个几何体的体积是.‎ ‎[答案]　 ‎[防范措施]　‎ 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑.‎ 补救训练1　[2016·郑州质检(二)]如图是正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 答案　C 解析　由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为2，∴高h＝＝2，‎ ‎∴侧视图的面积S＝×2×2＝6，故选C.‎ 线面位置关系把握不准致误 　　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC1D1；‎ ‎(2)求证：EF⊥B1C.‎ ‎[错解]　(1)连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，‎ ‎∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)AC⊥BD，又AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1.‎ ‎∴EF⊥AC.‎ ‎[错因分析]　推理论证不严谨，对判定定理的限定要求不清楚．‎ ‎[正解]　(1)连接BD1，如图所示，‎ 在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则 ⇒EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)ABCD－A1B1C1D1为正方体⇒AB⊥面BCC1B1‎ ⇒EF⊥B1C.‎ ‎[防范措施]　证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．‎ 补救训练2　设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是(　　)‎ A．若b⊂β，a∥b，则a∥β B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α 答案　D 解析　对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a∥β，故选项A正确；对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以有a∥α，故选项B正确；对于C项，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α，而由已知可得a⊄α，所以a∥α，故选项C正确；对于D项，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β，又因为α⊥β，所以b⊂‎ α或b∥α，故不能得到b∥α，所以D项错，故选D.‎ 忘记角的范围致误 　　已知空间四边形ABCD的对角线AC＝10 cm，BD＝6 cm，M，N分别是AB，CD的中点，MN＝7 cm.求异面直线AC与BD所成的角．‎ ‎[错解]　取BC中点E，连接EM，EN.‎ 因为M，N，E分别为AB，CD，BC的中点，所以ME∥AC且ME＝AC＝5 cm.‎ NE∥BD且NE＝BD＝3 cm，故∠MEN为异面直线AC与BD所成的角．在△MEN中，由余弦定理得 cos∠MEN＝＝＝－，所以∠MEN＝120°，即异面直线AC与BD所成的角为120°.‎ ‎[错因分析]　上述解题过程中没有注意到两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．‎ ‎[正解]　∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角．所以异面直线AC与BD所成的角应该是180°－∠MEN＝60°.‎ ‎[防范措施]　本题失分的原因是概念不清，记不住异面直线所成角的范围，要避免失分，首先要牢记概念，其次要分清各种角的范围．‎ 补救训练3　[2015·浙江高考]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎(1)证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ 解　(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.‎ 因为AB＝AC，所以AE⊥BC.‎ 故AE⊥平面A1BC.‎ 连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．‎ 于是A1D∥AE.‎ 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.‎ ‎(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.‎ 因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.‎ 因为BC⊥AE，‎ 所以BC⊥平面AA1DE.‎ 所以BC⊥A1F，‎ 所以A1F⊥平面BB1C1C.‎ 所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．‎ 由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.‎ 由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝.‎ 由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，∠DA1E＝90°，得A1F＝.‎ 所以sin∠A1BF＝.‎