数学理卷·2019届广东省中山一中、仲元中学等七校高二3月联考（2018-03） 11页

七校联合体2019届高二3月联考试卷 理科数学 命题学校：潮阳第一中学 命题人： 审题人：‎ 参考公式：锥体的体积，为锥体的底面积 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1.已知集合，，则集合 A. B. C. D. ‎ ‎2.函数的定义域为 A． B． ‎ C． D．‎ 开始 输入x x>1?‎ x<1?‎ y=x y=1‎ y=2x-3‎ 输出y 结束 否 否 是 是 ‎（第4题图）‎ ‎3.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 A．10万元 B． 12万元 C． 15万元 D．30万元 ‎4.如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为 A． B．0 C．1 D．或0‎ ‎5.下列几个命题：‎ ‎①是不等式的解集为R的充要条件；‎ ‎②设函数的定义域为R，则函数与的图象关于y轴对称；‎ ‎③若函数为奇函数，则；‎ ‎④已知，则的最小值为；‎ 其中不正确的有 ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D. 3个 第6题图 ‎6.函数的部分图象如图所示，若，且 ‎ ‎，则 ‎ A．　 B． C． D．‎ ‎7.已知等差数列的前项和为Sn，其中，则Sn取得最小值时n的值是 ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 A. B.160 C. D.‎ ‎9.已知圆．设条件，条件圆 上至多有个点到直线的距离为，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎10.如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在 线段BM上且满足若,‎ ‎，则的值为 ‎ A．2 B. C.﹣2 D． ‎ ‎11.已知函数的周期为4，且当时， 其中．若方程恰有3个实数解，则的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎12.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则 的最大值为 ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题:（共4题,每小题5分,共20分.）‎ ‎13.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,如果甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为　　　　. ‎ ‎14. 若函数的一个单调区间为，且，则___________.‎ ‎15.不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.‎ 16. 定义在上的函数满足且,又当且时,有.若对所有恒成立,则实数的取值范围是　　　　. ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）‎ 17. ‎（本小题满分10分）‎ 已知数列是满足，数列的前项和，满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，设角所对的边分别为,且 ‎（I）求角的大小； （Ⅱ）若的面积为1，求．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且资金不超过9万元,同时资金不超过收益的.‎ ‎(1)请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;‎ ‎(2)若该公司采用函数模型作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值.‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆 （1） 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线 x=6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.‎ P A B C D Q M ‎21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在点使得二面角大小 为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ 22. ‎（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为 ‎，抛物线与椭圆有相同的焦点，且椭圆 过点．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的右顶点为，直线交椭圆于、两点（、与点不重合），且满足，若点为中点，求直线斜率的最大值．‎ ‎（理科数学）参考答案 ‎1—6：CCDCCB 7—12：CADBAA ‎13. 14. 15. 16. (-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)‎ 16. 解：（1）‎ ‎ ………2分 ‎ 又当时，符合上式………3分 ………4分 ‎（2）由（1）可知 ………5分 ‎………7分 由（1）-（2）得 ‎………9分 ‎ ………10分 ‎18．解：（1）∵,‎ ‎∴ …………3分 ‎∵ ∴ ∴ …………6分 ‎（2）法一：由得…………8分 同理得…………10分 所以，故=…………12分 法二：由得……………8分 由得 ，即…………10分 ‎∴ ∴ ‎ 即的值分别为 所以=…………12分 ‎19.解:(1)对于函数模型 当时,为增函数,‎ ‎, 所以恒成立,……2分 但当时,, 即不恒成立,……4分 故函数模型不符合公司要求.……5分 ‎(2)对于函数模型, 即 当,即时递增,……6分 为使对于恒成立, 即要,即,……7分 为使对于恒成立, 即要,……8分 即恒成立, 即恒成立,……9分 又 , 故只需即可,所以.……10分 综上,,……11分 故最小的正整数的值为.……12分 ‎20.解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.……1分 ‎（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以圆N的半径为，从而，即.………3分 因此，圆N的标准方程为.………4分 ‎(2)因为直线OA，所以直线l的斜率为.………5分 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ………6分 因为 而 ………7分 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. ………8分 ‎(3)设 ‎ 因为,所以 ……①………9分 因为点Q在圆M上，所以 …….②‎ 将①代入②，得.………10分 于是点既在圆M上，又在圆上，………11分 从而圆与圆有公共点，‎ 所以 解得.‎ P A B C D Q M x y z 因此，实数t的取值范围是.………12分 ‎21.证明：(Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．…………1分 ‎∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………2分 ‎∴BQ⊥平面PAD． ……3分 ‎∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．………4分 ‎（Ⅱ）假设存在点点使得二面角大小为 ‎∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD． …………5分 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． ………6分 则，，，，‎ 所以 平面BQC的法向量为 …………7分 由 ，且，得 又，……8分 设平面MBQ法向量 则 ‎ ‎ 取 ∴ 平面MBQ法向量为． ……10分 ‎∵二面角M-BQ-C为30°， ‎ 即 解得 ．……11分 ‎ ∴ ‎ 所以 存在点M满足时，二面角大小为，‎ 且QM的长度为 ……………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，抛物线与椭圆C有相同的焦点 所以，又椭圆过点，所以 解得.………3分 则椭圆的标准方程为；.………4分 ‎（Ⅱ）设，[]‎ 直线AE的方程为，代入椭圆方程，可得 由，可得，，………6分 由于AE⊥AF，只要将上式的换为，可得，，………7分 由P为EF的中点，得 则直线AP的斜率为，………8分 当时，；当时，，………9分 再令，可得，当时，；‎ 当时，，………11分 当且仅当时，取得最大值；‎ 综上可得直线AP的斜率的最大值为．………12分