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- 2021-06-25 发布
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专题1 集合、常用逻辑用语、
不等式、函数与导数
第1讲 集合与常用逻辑用语
题型一| 集合的概念与运算
(1)(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题：①p
∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
(1)1 (2)②③ [(1)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假，取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故填1.
(2)由不等式性质知，命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题，②③正确．]
【名师点评】 1.一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
2．形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．
1．(2016·泰州模拟)命题“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是________．
【导学号：19592001】
∀x∈Q，x2－8≠0 [“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是“∀x∈Q，x2－8≠0”．]
2．已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有________个．
2 [命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，本题中原命题是真命题，逆命题是假命题，故有2个是真命题．]
3．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞) [命题p为真时，a≤1；“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p为真且q为真，即a>1.]
4．已知p：存在x0∈R，mx＋2≤0；q：任意x∈R，x2－2mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是________．
[1，＋∞) [若存在x0∈R，mx＋2≤0成立，则m<0，所以若p为假命题，m
的取值范围是[0，＋∞)；若任意x∈R，x2－2mx＋1>0，则Δ＝4m2－4<0，即－10；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围用区间表示为________．
[解题指导] (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根―→
b2－4ac≥0―→b2≥4ac得出结论
(2)解出p―→解出綈p，綈q得出结论
(1)充分不必要 (2)[1，＋∞) [(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则判别式Δ＝b2－4ac≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故“ac＜0”是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根的充分不必要条件．
(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.
由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，故a≥1.]
【名师点评】 1.判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一方面由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.
2．对于较难判断的命题，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
设集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，集合B＝{x||x＋a|＜1}，设命题p：x∈A
，命题q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
[0,2] [因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．
又集合A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以或
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2.]
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