高中数学 2_2_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1 4页

第2章 ‎2.2.2‎ 第1课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1　　　　　　　　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：　由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选D.‎ 答案：　D ‎2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)‎ A．8,2 B．5,4‎ C．9,1 D．5,1‎ 解析：　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.‎ 答案：　C ‎3．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：　由题意知‎4a＝16，即a＝4，‎ 又∵e＝，∴c＝2，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案：　B ‎4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　依题意，△BF‎1F2是正三角形，‎ ‎∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，‎ ‎∴acos 60°＝c，∴＝，‎ 即椭圆的离心率e＝，故选A.‎ 答案：　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．‎ 解析：　依题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，‎ ‎∴‎2a＝12，即a＝6.‎ ‎∵椭圆的离心率为，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴b2＝9，‎ ‎∴椭圆G的方程为＋＝1.‎ 答案：　＋＝1‎ ‎6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．‎ 解析：　设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为‎2a,2b,‎2c，‎ 由题意可得‎2a＋‎2c＝4b，a＋c＝2b，又b＝，‎ 所以a＋c＝2，‎ 整理得5e2＋2e－3＝0，e＝或e＝－1(舍去)．‎ 答案：　 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．‎ 解析：　e＝＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴a2＝3b2，即a＝b.‎ 过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1.‎ 把a＝b代入，即x－y－b＝0，‎ 又由点到直线的距离公式得＝，‎ 解得b＝1，∴a＝，‎ ‎∴所求方程为＋y2＝1.‎ ‎8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．‎ 解析：　方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)．M点的坐标为，‎ 则△MF‎1F2为直角三角形．‎ 在Rt△MF‎1F2中，|F‎1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，‎ 即‎4c2＋b2＝|MF1|2.‎ 而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝‎2a，‎ 整理得‎3c2＝‎3a2－2ab.‎ 又c2＝a2－b2，所以3b＝‎2a.‎ 所以＝.‎ ‎∴e2＝＝＝1－＝，‎ ‎∴e＝.‎ 方法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 则M，代入椭圆方程，得＋＝1，‎ 所以＝，‎ 所以＝，即e＝.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ 解析：　因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)．‎ 所以kPA＝，kPB＝.‎ 所以kPA·kPB＝·＝.‎ 因为点P在椭圆＋＝1上，‎ 所以y2＝16×＝16×.‎ 把y2＝16×代入kPA·kPB＝，得 kPA·kPB＝＝－.‎ 所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.‎