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- 2021-06-25 发布
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1
2.1.1
离散型随机变量
高二数学 选修
2-3
2
复习引入:
1
、什么是随机事件?什么是基本事件?
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2
、什么是随机试验?
凡是对现象或为此而进行的实验,都称之为试验。
如果试验具有下述特点:
试验可以在相同条件下重复进行;每次试验的所有可能结果都是明确可知的,并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现
哪一个结果。它被称为一个
随机试验
。简称
试验
。
判断下面问题是否为随机试验
(1)
京沈
T11
次特快车到达沈阳站是否正点
.
(2)1976
年唐山地震
.
新课引入
:
问题
1:
某人射击一次
,
可能出现
:
问题
2:
某次产品检查
,
在可能含有次品的
100
件产品中,任意抽取
4
件,
那么其中
含有次品可能是
: 0
件,
1
件,
2
件,
3
件,
4
件
.
即
,
可能出现的
结果
可以由
: 0, 1, 2, 3, 4
表示
.
命中
0
环
,
命中
1
环
,
,
命中
10
环
等结果
.
即
,
可能出现的
结果
可以由
: 0, 1, ,10
表示
.
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,(或
随着试验结果变化而变化的变量),
那么这样的变量叫做随机变量.
②
每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
①
试验的所有可能结果可以用一个数来表示;
在上面例子中,随机试验有下列特点
:
随机变量常用希腊字母
X
、
Y
、
ξ
、
η
等表示。
1.
随机变量
例如
:
在问题
1
中
:
某人射击一次
,
命中的环数为
ξ.
ξ=0,
表示
命中
0
环
;
ξ=1,
表示
命中
1
环
;
ξ=10,
表示
命中
10
环
;
在问题
2
中
:
产品检查
任意抽取
4
件
,
含有的次品数为
η
;
η=0,
表示
含有
0
个次品
;
η=1,
表示
含有
1
个次品
;
η=2,
表示
含有
2
个次品
;
η=4,
表示
含有
4
个次品
;
6
问题:
1
、对于上述试验,可以定义不同的随机变量来表示这个试验结果吗?
2
、在掷骰子试验中,如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数,应如何定义随机变量?
Y=
0,
掷出奇数点
1,
掷出偶数点
3
、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗?
本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序
一一列出
,
这样的随机变量叫做
离散型随机变量.
2
、离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为
离散型随机变量。
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值,这样的随机变量叫做
连续型随机变量
.
问题
某林场树木最高达
30m,
那么这个林场的树木高度的情况有那些
?
(0
,
30]
内的一切值
可以取某个区间内的一切值
写出下列各随机变量可能的取值
.
(
1
)从
10
张已编号的卡片(从
1
号到
10
号)中任取
1
张,被取出的卡片的号数
.
(
2
)一个袋中装有
5
个白球和
5
个黑球,从中任取
3
个,其中所含白球数 .
(
3
)抛掷两个骰子,所得点数之和
.
(
4
)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数
.
(
5
)某一自动装置无故障运转的时间
.
(
6
)某林场树木最高达
50
米,此林场树木的高度
.
( =
1
、
2
、
3
、
···
、
n
、
···
)
( =
2
、
3
、
4
、
···
、
12
)
( 取 内的一切值)
( 取 内的一切值)
( =
1
、
2
、
3
、
···
、
10
)
( =
0
、
1
、
2
、
3
)
练一练
离散型
连续型
又例如:
任掷一枚硬币,可能出现
正面向上、反面向上
这两种结果,
ξ
=
0
,表示正面向上;
ξ
=
1
,表示反面向上.
此外,若
ξ
是随机变量,
η
=
aξ
+
b
,
其中
a
,
b
是常数,
虽然这个随机试验的结果
不具有数量性质
,但仍可以用
数量
来表示它,
我们用变量
ξ
来表示这个随机试验的结果:
则
η
也是随机变量.
10
注
3
:
若 是随机变量,则
(其中
a
、
b
是常数)也是随机变量
.
注
1
:
随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
注
2
:
某些随机试验的结果不具备数量性质,
但仍可以用数量来表示它。
思考
1
:
(
1
)电灯泡的寿命
X
是离散型随机变量吗?
(
2
)如果规定寿命在
1500
小时以上的灯泡为一等品,寿命在
1000
到
1500
小时之间的为二等品,寿命在
1000
小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品,应如何定义随机变量?如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品,又如何定义随机变量?
12
例
1
、
(1)
某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ;
(2)
某网站中歌曲
《
爱我中华
》
一天内被点击的次数为 ;
(3)
一天内的温度为 ;
(4)
射手对目标进行射击,击中目标得
1
分,未击中目标得
0
分,用 表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的 是离散型随机变量的是( )
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)
例
2
、写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:
(
1
)一个袋中装有
2
个白球和
5
个黑球,从中任取
3
个,其中所含白球的个数 ;
(
2
)一个袋中装有
5
个同样大小的球,编号为
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,现从中随机取出
3
个球,被取出的球的最大号码数 。
B
13
课堂练习:
1
、把一枚硬币先后抛掷两次,如果出现两个正面得
5
分,出现两个反面得
-3
分,其他结果得
0
分,用
X
表示得分的分值,列表写出可能出现的结果与对应的
X
值。
2
、写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果:
(
1
)从一个装有编号为
1
号到
10
号的
10
个球的袋中,任取
1
球,被取出的球的编号为
X
;
(
2
)一个袋中装有
10
个红球,
5
个白球,从中任取个
4
球,其中所含红球的个数为
X
;
(
3
)投掷两枚骰子,所得点数之和为
X
,所得点数之和是偶数为
Y
。
14
例
3
、小王参加一次比赛,比赛公设三关,第一、第二关各有两个必答题,如果每关两个题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功。每过一关可一次性获得价值分别为
1000
元,
3000
元,
6000
元(不得重复
得奖),小王对三关中的问题回答正确的概率依次为
且每个问题回答正确与否相互独立,用 表示小王所获奖品的
价值,写出 的所有可能取值。
3
、抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ,问:“ ”表示的试验结果是什么?
15
例
4
、某城市出租车的起步价为
10
元,行驶路程不超过
4km
则按
10
元的标准收费。若行使路程超过
4km
,则按每超出
1km
加收
2
元计费(超出不足
1km
的部分按
1km
计)。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为
15km
。某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程收费(这个城市规定:每停车
5
分钟按
1km
路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 (依题意取整数)是一个随机变量,他所收的费用也是一个随机变量。
(
1
)求费用 关于行车路程 的关系式;
(
2
)已知某旅客实付车费
38
元,问出租车在途中因故停车累
计最多几分钟?
16
思考
2
:
随机变量与函数有类似的地方吗?
随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例如,在含有
10
件次品的
100
件产品中,任意抽取
4
件,可能含有的次品件数
X
将随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量。其值域是
{0,1,2,3,4}.