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第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点1 函数的概念
1．（2018全国Ⅱ，3）函数fx=ex−e−xx2的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
1.B ∵x≠0,f(−x)=e−x−exx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，舍去A,∵f(1)=e−e−1>0∴舍去D;
∵f′(x)=(ex+e−x)x2−(ex−e−x)2xx4=(x−2)ex+(x+2)e−xx3∴x>2,f′(x)>0，所以舍去C；因此选B.
2．（2018全国Ⅲ，7）函数y=−x4+x2+2的图像大致为( )
A． B．
C． D．
2.D 函数过定点0,2，排除A,B，求得函数的导数f'x=−4x3+2x=−2x2x2−1，由f'x>0得2x2x2−1<0，得x<−22或00，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0＜x<，故所求的定义域是∪(2，＋∞).]
7.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
7.C [由题意可得x2－x>0，解得x>1或x<0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]
8.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A.1 B.2 C.3 D.－1
8.A [因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]
9.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8
9.D [当a≥2时，f(x)＝
如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－1＝3，可得a＝8；
当a<2时，f(x)＝
如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.
综上可知，答案为D.]
图1 图2
10.(2014·上海，18)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A.[－1,2] B.[－1,0] C.[1,2] D.[0,2]
10.D [∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，
∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.]
11．（2018江苏，5）函数f(x)=log2x−1的定义域为________．
11.[2，+∞） 要使函数fx有意义，则log2x−1≥0，解得x≥2，即函数fx的定义域为[2,+∞).
12．（2018江苏，9）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)=cosπx2,0时，f＝f，则f(6)＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
5.D [当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，
∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，
∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]
6.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a
6.C[因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，
∴log25＞|－log0.53|＞0，
∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]
7.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( )
A.y＝ B.y＝|sin x| C.y＝cos x D.y＝ex－e－x
7.D [由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]
8.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋ex B.y＝x＋ C.y＝2x＋ D.y＝
8.A [令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]
9.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x C.y＝ln x D.y＝x2＋1
9.A [由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点.]
10.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A.y＝ B.y＝(x－1)2 C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1)
10.A [显然y＝是(0，＋∞)上的增函数;y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]
11.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝x3 C.f(x)＝ D.f(x)＝3x
11.D [根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y).又f(x)＝3x是增函数，所以D正确.]
12.(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C.sin x>sin y D.x3>y3
12.D [根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立.]
13.(2014·湖南，3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
13.C [用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
14.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
14.B [f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选B.]
15.(2014·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
15.B [当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，选B.]
16.（2017•江苏,11）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
16. [-1， ] 函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤ ．
17.（2017•山东,15）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
17.①④ 对于①，f（x）=2﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3 ， 则g（x）=exf（x）=ex•x3 ， g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．
18.(2016·四川，14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00，则x的取值范围是________.
21.(－1，3) [由题可知，当－20.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－10)，g(x)＝logax的图象可能是( )
3.D [当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.]
4．(2014·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
4.－2 [设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－≤t≤，当|2a＋b|取最大值时t＝，代入①式得b＝，再由2a＝t－b得a＝，所以－＋＝－＋＝－＝－2≥－2，当且仅当c＝时等号成立.]
考点4 指数与指数函数
1.（2017·天津,6）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A、a＜b＜c
B、c＜b＜a
C、b＜a＜c
D、b＜c＜a
1.C 奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．
2.（2017•北京,8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
2. D 由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ ≈ =1093 ， 故选D．
3.(2014·辽宁，3)已知a＝，b＝log2，c＝，则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
3.C[a＝2－∈(0，1)，b＝log2∈(－∞，0)，c＝log＝log23∈(1，＋∞)，所以c>a>b.]
4.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
4.－ [当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，
∴方程组无解；
当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，
∴解得∴a＋b＝－.]
5.(2014·上海，9)若f(x)＝－，则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
5.(0，1) [令y1＝x，y2＝，f(x)<0即为y1b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
1.D 由题意结合对数函数的性质可知：a=log2e>1，b=ln2=1log2e∈0,1，c=log1213=log23>log2e，据此可得：c>a>b.本题选择D选项.
2.（2017•新课标Ⅰ,11）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z
2. D x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．
∴3y= ，2x= ，5z= ．∵ = = ， ＞ = ．∴ ＞lg ＞ ＞0．∴3y＜2x＜5z．故选D．
3. (2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
3. A [易知函数定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数,又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选A.]
4.(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q
4.C[∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.]
5.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
5.B [因为函数y＝logax过点(3,1),所以1＝loga3,解得a＝3,所以y＝3－x不可能过点(1，3),排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]
6.(2014·天津，4)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(-∞，0) C.(2，＋∞) D.(-∞，－2)
6.D [函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增.选D.]
7.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1).现有下列命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
7.A [f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，又当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，所以f＝ln＝ln＝2ln＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝＋－2＝>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]
8.(2016·浙江,12)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝,ab＝ba,则a＝______，b＝______.
8.4 2 [设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2①，因此ab＝ba⇒a2b＝ab2②，解得b＝2，a＝4.联立①②结合b＞1，解得b＝2，a＝4.]
9.(2015·浙江,12)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
9. [2a＋2－a＝2log43＋2－log43＝2log2＋2log2＝＋＝.]
10.(2015·福建，14)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
10.(1，2] [由题意f(x)的图象如图，则
∴1＜a≤2.]
11.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________.
11.－ [依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.]
考点6 函数与方程
1．（2018全国Ⅰ，9）已知函数f(x)=ex，x≤0，lnx，x>0， g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
1.C 画出函数f(x)的图像，y=ex在y轴右侧的去掉，再画出直线y=−x，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=−x−a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足−a≤1，即a≥−1，故选C.
2.（2017•新课标Ⅲ,11）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A.﹣ B. C. D. 1
2. C 因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，故选C．
3.(2015·山东，10)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )
A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞)
3.C[当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，
∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.]
4.(2015·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.D [记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由
解得b′＝－，－－(－4)＝，
所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f
(x)－g(x)恰有4个零点.选D.]
5.(2014·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.B [由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以a<＝，选B.]
6．（2018天津，14）已知a>0，函数f(x)=x2+2ax+a, x≤0,−x2+2ax−2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是______________.
6.(4 ， 8) 分类讨论：当x≤0时，方程fx=ax即x2+2ax+a=ax，整理可得：x2=−ax+1，很明显x=−1不是方程的实数解，则a=−x2x+1，当x>0时，方程fx=ax即−x2+2ax−2a=ax，整理可得：x2=ax−2，很明显x=2不是方程的实数解，则a=x2x−2，
令gx=−x2x+1,x≤0x2x−2,x>0，其中−x2x+1=−x+1+1x+1−2，x2x−2=x−2+4x−2+4，原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a>0观察可得，实数a的取值范围是4,8.
7．（2018浙江，15）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
7. (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 由题意得x≥2x−4<0或x<2x2−4x+3<0，所以2≤x<4或14时，f(x)=x−4>0，此时f(x)=x2−4x+3=0,x=1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x−4=0,x=4，由f(x)=x2−4x+3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
8．（2018江苏，11）若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为__________．
8.−3 由f′x=6x2−2ax=0得x=0,x=a3，因为函数fx在(0,+∞)上有且仅有一个零点且f0=1，所以a3>0,fa3=0，因此2(a3)3−a(a3)2+1=0,a=3.从而函数fx在[−1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以f(x)max=f0, f(x)min=min{f(−1),f(1)}=f(−1)，f(x)max+f(x)min= f0+f(−1)=1−4=−3.
9.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
9.(3，＋∞) [如图,当x≤m时，f(x)＝|x|;当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b,使方程f(x)＝b有三个不同的根,则m2－2m·m＋4m<|m|.
∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
10.(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.
10.(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，
由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).]
11.(2015·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
11 .①③④⑤ [令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；
当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]
12.(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
12.4 [令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.]
13.(2015·北京，14)设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
13.(1)－1 (2)∪[2，＋∞)[(1)当a＝1时，f(x)＝
当x<1时，2x－1>－1.
当x≥1时，且当x＝时，f(x)min＝f＝－1，∴f(x)最小值为－1.
(2)1°当a≤0时，2x－a>0，
由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，
2a∉[1，＋∞)，
∴此时f(x)无零点.
2°当00,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,－f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)＝1(x>0)时,可得Mf(a,b)＝c＝,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.
(1)当f(x)＝________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数.
(2)当f(x)＝________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
8.(1) (2)x [过点(a,f(a)),(b,－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a),
令y＝0得c＝.
(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b),可取f(x)＝(x>0)；
(2)令调和平均数＝⇒＝,可取f(x)＝x(x>0).]
9.(2014·山东,15)已知函数y＝f(x)(x∈R),对函数y＝g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I),y＝h(x)满足：对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.
9.(2,＋∞) [函数g(x)的定义域是[－2,2],根据已知得＝f(x),所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立,即6x＋2b－>恒成立,即3x＋b>恒成立,令y＝3x＋b,y＝,则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可,由>2,解得b>2(舍去负值),故实数b的取值范围是(2,＋∞).]
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