2012高中数学 3_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1 4页

第 3 章 3.2 第 1 课时 1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　　　　　 B．α⊥β C．α，β 相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：　∵u＝－ 1 4v ∴α∥β，故选 A. 答案：　A 2．已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标平面(　　) A．xOy 平行 B．xOz 平行 C．yOz 平行 D．yOz 相交 解析：　因为AB→ ＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)， 所以 AB∥平面 yOz. 答案：　C 3．在平面 ABCD 中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若 a＝(－1，y，z)，且 a 为 平面 ABC 的法向量，则 y2 等于(　　) A．2 B．0 C．1 D．无意义 解析：　AB→ ＝(1,1,0)，AC→ ＝(－1，－1，－2) 设 a＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量 则Error!， 即Error! 令 x＝－1，则 y＝1， ∴y2＝1. 答案：　C 4.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B、AC 的中 点，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案：　B 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．直线 l 不在平面 ABC 内，且 l 上两点 C、D 满足CD→ ＝λ1AB→ ＋λ2AC→ ，则直线 l 与平面 ABC 的位置关系是________． 答案：　平行 6．设 a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，且 a∥b，则 xz 等于________． 解析：　∵a∥b， ∴ x 3＝ 4 2＝ 3 z， ∴x＝6，z＝ 3 2， ∴xz＝9. 答案：　9 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 7.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S 分别是 AA1， D1C1，AB，CC1 的中点，证明：PQ∥RS. 证明：　证法一：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 D－xyz， 则 P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)． PQ→ ＝(－3,2,1)，RS→ ＝(－3,2,1)， 所以PQ→ ＝RS→ ，所以PQ→ ∥RS→ ， 所以 PQ∥RS. 证法二：RS→ ＝RC→ ＋CS→ ＝ 1 2DC→ －DA→ ＋ 1 2DD1→ ， PQ→ ＝PA1→ ＋A1Q→ ＝ 1 2DD1→ ＋ 1 2DC→ －DA→ ， 所以RS→ ＝PQ→ ，所以RS→ ∥PQ→ ， 所以 RS∥PQ. 8.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点， 求证：MN∥平面 A1BD. 证明：　如图，以点 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 M(0，1， 1 2)，N(1 2，1，1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)， B(1,1,0)， 所以MN→ ＝(1 2，0， 1 2)， DA1→ ＝(1,0,1)，DB→ ＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的一个法向量是 n＝(x，y，z)， 则DA1→ ·n＝0 且DB→ ·n＝0， 得Error! 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1， 所以 n＝(1，－1，－1)， 又MN→ ·n＝(1 2，0， 1 2)·(1，－1，－1)＝0， 所以MN→ ⊥n， 又因为 MN⊄平面 A1BD， 所以 MN∥平面 A1BD. 尖子生题库☆☆☆ 9．(10 分)已知M 为长方体 AC1 的棱 BC 的中点，点 P 在长方体 AC1 的面 CC1D1D 内，且 PM∥ 平面 BB1D1D，试探讨点 P 的确切位置． 解析：　 以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴，如图，建立空间直角坐标系，设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c. 根据题意可设 A(a,0,0)，B(a，b，0)，D1(0,0，c)，P(0，y，z)，则 M(1 2a，b，0). 又 PM∥BB1D1D，根据空间向量基本定理，必存在实数对(m，n)， 使得PM→ ＝mDB→ ＋nDD1→ ， 即(1 2a，b－y，－z)＝(ma，mb，nc)，等价于 Error!⇔Error! 则点 P(0， b 2，－nc). ∴点 P 在面 DCC1D1 的 DC 的中垂线 EF 上．