2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-8-1（选修4-4）坐标系与参数方程 13页

专题八　系列4选讲 第一讲　(选修4－4)坐标系与参数方程 ‎[必记公式]‎ 直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则 ‎[重要结论]‎ ‎1．圆的极坐标方程 ‎(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ ‎(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；‎ ‎③当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 ‎(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ ‎(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；‎ ‎②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；‎ ‎③直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.‎ ‎3．几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 ‎①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ ‎②当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆 ‎①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎4．直线参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)①.‎ 通常称①为直线l的参数方程的“标准式”．其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.‎ 当0<α<π时，sinα>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝||；当点M在M0下方时，有t＝－||.‎ ‎[失分警示]‎ ‎1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ 考点　极坐标方程及其应用　　‎ 典例示法 典例1　　已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．‎ ‎[解]　(1)将消去参数t，‎ 化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将 代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎ 解决极坐标系问题的策略 ‎(1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程，则可以统一转化到直角坐标系中，利用直角坐标系的定理、公式解题．‎ ‎(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂，不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显，比如已知两个点的极坐标，求两个点间的距离，则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离．‎ 针对训练 ‎[2016·衡阳联考]在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2ρacosθ，‎ 化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.‎ ‎∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；‎ 由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，‎ ‎∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ ‎＝2cos，‎ 当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.‎ 考点　参数方程及其应用　　‎ 典例示法 典例2　　[2014·全国卷Ⅰ]已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tanα＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎1．参数方程化为普通方程消去参数的方法 ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．‎ ‎(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．‎ ‎(3)常见消参数的关系式：‎ ‎①t·＝1；‎ ‎②2－2＝4；‎ ‎③2＋2＝1.‎ ‎2．参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 ‎(1)可以统一成普通方程处理．‎ ‎(2)利用参数方程中参数解决问题，如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题，利用圆锥曲线参数方程中的参数角θ解决与最值相关的问题．‎ 针对训练 ‎[2016·唐山统考]将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ 解　(1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，‎ 整理得5t2＋4t－4＝0.‎ 设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，‎ 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝，‎ 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.‎ 考点　极坐标方程与参数方程的综合应用　　‎ 典例示法 典例3　　[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．‎ 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ 解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法 与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．‎ 针对训练 ‎[2016·西安质检]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．‎ 解　(1)对于曲线C1有 则2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，‎ 即C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 对于曲线C2有ρsin＝ρ(cosθ＋sinθ)＝4⇔ρcosθ＋ρsinθ＝8⇔x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ ‎(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，‎ 当sin＝1时，d取最小值为3，此时点P的坐标为.‎ ‎[全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，‎ 解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，‎ 即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎3．[2014·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cost，sint)．‎ 由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．‎ 因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎4．[2016·北京高考]在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 答案　2‎ 解析　将ρcosθ－ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.‎ ‎5．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 答案　2 解析　因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由消去t得y2－x2＝4.‎ 由解得 或不妨令A，‎ B，由两点间的距离公式得 ‎|AB|＝＝2.‎ ‎6．[2015·湖南高考]已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎1．[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.‎ ‎(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)曲线C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0，‎ 圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，r为圆C的半径，所以直线l 与圆C相切．‎ ‎(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.‎ ‎2．[2016·湖南四校联考]已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ 解　(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以圆C的普通方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)设z＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，‎ 将代入z＝x＋y得z＝－t.‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，‎ 即x＋y的取值范围是[－2,2]．‎ ‎3．[2016·山西质检]已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ 解　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ 解　(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一个圆．‎ ‎(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t2－2sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因此|AB|的最小值为2，最大值为8.‎ ‎5．[2016·河南六市一联]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ 解　(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.‎ 由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝8，t1t2＝7，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，‎ 因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，‎ 所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.‎ ‎6．[2016·贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．‎ 解　(1)证明：依题意|OA|＝4cosφ，‎ ‎|OB|＝4cos，|OC|＝4cos，‎ 则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos ‎＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ)‎ ‎＝4cosφ＝|OA|.‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为B(1，)、C(3，－)，所以经过点B、C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.‎ ‎7．[2016·重庆测试]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程；‎ ‎(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值．‎ 解　(1)由曲线C的参数方程可得，‎ ‎(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，‎ 所以曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 由直线l的极坐标方程：ρsin＝2，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y ‎＝4.‎ ‎(2)设点P关于直线l的对称点为Q(a，b)，则解得 由(1)知，曲线C为圆，圆心坐标为C(1,0)，‎ 故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝－1.‎ 当Q，B，A，C四点共线，且A在B，C之间时，等号成立，所以|PB|＋|AB|的最小值为－1.‎ ‎8．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎