2018-2019学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12月联考数学（文）试题 解析版 20页

绝密★启用前 湖南省湘西自治州四校2018-2019学年高二上学期12月联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（ ）‎ A．a＞b⇒ac2＞bc2 B．⇒a＞b C．a＞b＞0⇒ D．a＞b⇒a2＞b2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对A、B、D选项举反例说明错误，对C利用不等式的性质判断即可．‎ ‎【详解】‎ A．c＝0时不成立；‎ B．c＜0时不成立；‎ C．由不等式的性质可知，a＞b＞0⇒，故正确；‎ D．取a＝﹣1，b＝﹣2，不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．‎ ‎2．在△ABC中，所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a＝8，B＝60°，A＝45°，‎ ‎∴根据正弦定理得：b4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎3．椭圆的右焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的右焦点是F（1，0），双曲线的渐近线方程是yx，利用点到直线的距离公式，即可求得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆的右焦点是F（1，0），‎ 双曲线的渐近线方程是yx，即渐近线方程为，‎ ‎∴椭圆的右焦点F（1，0）到的距离d．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆和双曲线的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．‎ ‎4．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，则，则 A． B．12 C． D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前n项和公式求得a1，再代入通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵{an}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，‎ ‎∴8a11＝4×（4a1），‎ 解得a1．‎ 则a109×1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 (　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎6．下列说法正确的是 A．命题“若，则”的否命题为“若，则”；‎ B．命题“”的否定是“”；‎ C．命题“若x=y，则”的逆否命题为真命题；‎ D．“” 是“”的必要不充分条件.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接写出命题的否命题判断A；B选项，写出全称命题的否定在判断真假；由互为逆否命题的两个命题共真假判断C；由充分必要条件的定义判断D.‎ ‎【详解】‎ 对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；‎ 对于B，命题“”的否定应是：“ x2+x+1≥0”，∴B错误；‎ 对于C，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，∴它的逆否命题为真命题，C正确；‎ 对于D. ∵当x＝﹣1时，等式x2﹣5x﹣6＝0成立，∴充分性成立，当x2﹣5x﹣6＝0时，解得x＝﹣1，或x＝6，必要性不成立，错误；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称特称命题真假的判断问题，考查了否命题与命题的否定问题及充分必要条件的判断，是基础题．‎ ‎7．已知变量满足，则目标函数有 (　　)‎ A． B．，无最小值 C．无最大值 D．既无最大值，也无最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可．‎ ‎【详解】‎ 先根据约束条件画出可行域，如图：‎ 当直线z＝2x+y过点A（2，1）时，z最大是5，但因为，所以直线为虚线，所以z的最大5是取不到的，‎ 当直线z＝2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，作图时注意直线的实虚，属于基础题．‎ ‎8．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)‎ A．(0,1] B．(－1,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间．‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域是（0，+∞），‎ y′＝x，‎ 令y′＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故函数在（0，1）递减，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎9．如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC＝DB﹣BC列等式求得AB．‎ ‎【详解】‎ 依题意知，BC，BD，‎ ‎∴DC＝DB﹣BC＝AB（）＝a，‎ ‎∴AB，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用，把实际问题转化为三角形的问题，是常用思路．‎ ‎10．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（　　）‎ A．128 B．162 C．180 D．200‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2．即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，‎ 可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2．‎ 则此数列第20项＝2×102＝200．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．点是双曲线：与圆：的一个交点，且，其中、分别为的左右焦点，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a2+b2＝c2，知圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，2∠PF1F2＝∠PF2F1，则|PF2|＝c，c，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a2+b2＝c2，‎ ‎∴圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，‎ ‎2∠PF1F2＝∠PF2F1，则|PF2|＝c，c，‎ 故双曲线的离心率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎12．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）‎ ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）”可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y＝﹣x相切，在（2，0）点处与y＝3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．‎ A、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故A错误；‎ B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；‎ C、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，‎ 故C正确；‎ D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知实数，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由基本不等式的性质可得22，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，x＞0，则22，‎ 当且仅当x＝1时等号成立，‎ 即的最小值是2；‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．‎ ‎14．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则__________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知，根据导数的定义 知．‎ 考点：本题主要考查导数的定义与计算，待定系数法。‎ 点评：简单题，通过观察图象，首先确定得到函数解析式，从而利用导数的定义，求得。‎ ‎15．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|＝3，求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线C的方程为y2＝4x ‎∴2p＝4，可得，‎ ‎∴抛物线的准线方程为：x，焦点F（，0），‎ 又P为C上一点，|PF|＝3，∴xP＝2，‎ 代入抛物线方程得：|yP|＝4，‎ ‎∴S△POF|0F|×|yP|＝2．‎ 故答案为＝2．‎ ‎【点睛】‎ 本题着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎16．已知，.对，，使，则的取值范围_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记函数f（x）的值域A，利用函数的单调性求得g（x）＝m2x﹣1在[﹣1，1]上的值域为B，由B⊆A列出关于m的不等式组，由此求得m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为，f′（x）=，x=-1或1，又，‎ 在上单调递减，在上单调递增，的最小值为=-2，最大值为=2‎ 函数f（x）的值域A＝[﹣2，2]，g（x）＝m2x﹣1在[﹣1，1]上的值域为B．‎ 因为m2≥0，所以B＝[﹣m2﹣1，m2﹣1]．‎ 依题意得B⊆A，即，解得﹣1≤m≤1，‎ 故m的取值范围为[﹣1，1]．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查具体函数在闭区间上的最值及一元二次不等式的解法，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p:方程表示焦点在轴上的椭圆，命题q：函数在上单调递减。若为真，为假，求m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出p，q为真时m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 当命题p为真时，， ‎ 当命题q为真时，，‎ 因为为真，，为假，p，q为一真一假.‎ 当p真q假时，，所以，‎ ‎ 当p假q真时， ，所以 ，‎ 综上所述，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题的判断，考查椭圆的定义以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎ ‎18．已知不等式的解集为或．‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）若正实数、满足，，求的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据根与系数的关系，列出方程组，求出a，b的值；‎ ‎（II）给乘以，展开后利用基本不等式求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意可得，解得，‎ 实数的值分别为1, 4. ‎ ‎（II）由（1）知 ， ‎ ‎ ，‎ 当且仅当，即，时，等号成立.‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了“1”的巧用及基本不等式的应用问题，是基础题目．‎ ‎19．的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 ‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】(I) ；（II）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定C的度数；‎ ‎（II）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．‎ ‎【详解】‎ ‎(I)由正弦定理得：， ‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，， ‎ ‎∵， ‎ ‎∴.‎ ‎（II）由余弦定理得：，，‎ ‎，‎ 又， ∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴周长为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎20．在数列中，， ‎ ‎（I）证明：数列是等比数列；并求数列的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(I) 证明见解析，；（II）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把原数列递推式变形，可证得{an+3}是等比数列，求出{an+3}的通项公式后可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求．‎ ‎【详解】‎ ‎(I)因为 ，所以 ，‎ ‎，‎ 又 ，‎ 所以是以6为首项，2为公比的等比数列． ‎ 故 ，即 .‎ ‎（II） ‎ 所以， ③‎ ‎ ④‎ 由④- ③得 ‎ ‎ =，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，属综合题．‎ ‎21．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，并且经过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II） 设椭圆C短轴的上顶点为P，直线不经过P点且与相交于、两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为，判断直线是否过定点，若是，求出这个定点，否则说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（II）过定点。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）推导出，从而焦点F1（，0），F2（，0），由椭圆定义得a＝2，b＝1，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎（II）先考虑斜率不存在时，不存在两个交点，舍去，斜率存在时设直线l方程为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由得及，代入1中，得到m＝﹣2k﹣1，代入直线方程即可得到定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点为,,亦即椭圆C的焦点，‎ ‎∴，‎ 又椭圆经过点.‎ 由椭圆定义得，‎ 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为：． （II）当斜率不存在时，设，‎ ‎，‎ 得t=2，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.‎ 当斜率存在时，设，‎ ‎，‎ 联立，整理得 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，此时，存在使得成立．‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ 当，时，上式恒成立，所以过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，属于中档题．‎ ‎22．已知数列，，为数列的前n项和，，. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）证明：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅲ）若，求数列的前项之和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当n＞1时，，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由，可得b1＝1，由，可得，即可证明是等差数列，可得bn．‎ ‎（Ⅲ）由c2n﹣1+c2n，利用错位相减法即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），，‎ ‎,‎ ‎∴数列是以2为公比的等比数列，‎ 又，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ 数列是以1为公差的等差数列； ‎ ‎（Ⅲ），由（2）知，‎ ‎，‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ①‎ ‎②‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎