2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-5-1空间几何体的三视图、表面积与体积 22页

专题五　立体几何 第一讲　空间几何体的三视图、表面积与体积 ‎ ‎ ‎[必记公式]‎ ‎1．表面积公式 表面积＝侧面积＋底面积，其中 ‎(1)多面体的表面积为各个面的面积之和．‎ ‎(2)圆柱的表面积公式：S＝2πr(r＋l)＝S侧＋S底(其中，r为底面半径，l为圆柱的高)．‎ ‎(3)圆锥的表面积公式：S＝πr(r＋l)＝S侧＋S底(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l)．‎ ‎(4)圆台的表面积公式：S＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)(其中圆台的上、下底面半径分别为r和r′，母线长为l)．‎ ‎(5)球的表面积公式：S＝4πr2(其中球的半径为r)．‎ ‎2．体积公式 ‎(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．‎ ‎(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．‎ ‎(3)V球＝πR3(其中R为球的半径)．‎ ‎[重要结论]‎ ‎1．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．‎ ‎2．三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．‎ ‎[失分警示]‎ ‎1．未注意三视图中实、虚线的区别 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．‎ ‎2．不能准确分析组合体的结构致误 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．‎ ‎3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行．‎ ‎4．空间几何体放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．‎ ‎ 考点　空间几何体的三视图与直观图　　‎ 典例示法 典例1　　(1)[2016·沈阳质检]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)‎ ‎[解析]　根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎(2)[2015·全国卷Ⅱ]一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ [解析]　如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A－A1B1D1，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎1．由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认．‎ ‎2．由三视图还原到直观图的思路 ‎(1)根据俯视图确定几何体的底面．‎ ‎(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．‎ ‎(3)确定几何体的直观图形状．‎ 针对训练 ‎1.[2015·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　C 解析　由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底面ABCD，且底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝，选C.‎ ‎2．[2016·贵州七校联考]如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥ B．①②③‎ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ 答案　B 解析　正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.‎ 考点　空间几何体的表面积与体积　　‎ 典例示法 题型1　以三视图为载体求几何体的表面积 典例2　　[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 ‎[解析]　在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P－ABC，表面积为×1×2×2＋×()2×2＝2＋.‎ ‎[答案]　B 题型2　以三视图为载体求几何体的体积 典例3　　[2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.‎ ‎[解析]　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m、高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m，故其体积为×2×1×3＝2(m3)．‎ ‎[答案]　2‎ 题型3　以空间几何体的结构特征求体积 典例4　　如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：因为BC＝CD，‎ 所以△BCD为等腰三角形，‎ 又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.‎ 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin＝.‎ 由PA⊥底面ABCD，得 VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.‎ 由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故 VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，‎ 所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝.‎ 几何体的表面积及体积问题求解技巧 ‎(1)求表面积与体积的关键是分清几何体是多面体还是旋转体，是否能直接利用公式求解，不能用公式直接求解的可采用割补法、等价转化法求解，注意表面积与侧面积的区别．‎ ‎(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法 ‎①根据给出的三视图判断该几何体的形状；‎ ‎②由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量；‎ ‎③套用相应的面积公式与体积公式计算求解．‎ 考点　多面体与球　　‎ 典例示法 典例5　　(1)[2016·西安质检]在四面体S－ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为(　　)‎ A．11π B．7π C. D. ‎[解析]　∵AC＝2，AB＝1，∠BAC＝120°，‎ ‎∴BC＝＝，‎ 设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r＝，r＝.‎ ‎∵SA⊥平面ABC，SA＝2，‎ 三角形OSA为等腰三角形(O为外接球球心)，‎ ‎∴该三棱锥的外接球的半径R＝＝，‎ ‎∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝.故应选D.‎ ‎[答案]　D ‎(2)[2016·武昌调研]已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为________．‎ ‎[解析]　 如图，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，底面边长为2，所以AC＝4，‎ 在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的体积V＝πR3＝π.‎ ‎[答案]　π 多面体与球切、接问题的求解方法 ‎(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．‎ ‎(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．‎ ‎(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．‎ ‎(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．‎ 针对训练 ‎1.[2016·重庆测试]已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．12π D．16π 答案　A 解析　依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×‎ S△ABC×d＝××12×d＝，解得d＝，又R2＝d2＋2＝1，所以球O的表面积等于4πR2＝4π，选A.‎ ‎2．[2015·陕西西安模拟]已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A.π B．6π C．5π D．8π 答案　B 解析　由勾股定理，知DA⊥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥BD，‎ ‎∴CD＝＝ .‎ ‎∴AC2＋AD2＝2＋4＝6＝CD2，‎ ‎∴DA⊥AC.‎ 取CD的中点O，由直角三角形的性质知，O到点A，B，C，D的距离均为，‎ 其即为三棱锥的外接球球心．‎ 故三棱锥的外接球的表面积为4π·2＝6π.‎ ‎ ‎ ‎ [全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅰ]如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π B．18π C．20π D．28π 答案　A 解析　由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.‎ ‎2. [2015·全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1‎ B．2‎ C．4‎ D．8‎ 答案　B 解析　由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为πr2＋2πr2＋4r2＋2πr2＝20π＋16，所以r＝2，故选B.‎ ‎3．[2015·全国卷Ⅱ]已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π 答案　C 解析　设球的半径为r，则VO－ABC＝××r2h≤r3＝36.故r＝6.故S球＝4πr2＝144π.‎ ‎4．[2014·全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ A．6 B．6‎ C．4 D．4‎ 答案　B 解析　由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示．其中面ABC⊥面BCD，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取BC的中点M，连接AM，DM，则DM⊥面ABC，在等腰△BCD中，BD＝DC＝2，BC＝DM＝4，所以在Rt△AMD中，AD＝＝＝6，又在Rt△ABC中，AC＝4<6，故该多面体的各条棱中，最长棱为AD，长度为6，故选B.‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎5．[2016·山东高考]一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 答案　C 解析　根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为，所以该几何体的体积为×1×1×1＋×π3＝＋π.‎ ‎6．[2015·天津高考]一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 答案　 解析　由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径为1 m，高为2 m，圆锥的底面圆的半径和高都是1 m，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合，故该组合体的体积为2π＋2×π＝(m3)．‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(　　)‎ 答案　D 解析　由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. ‎ ‎2．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1，因此该几何体的体积为×2×1×1＋××2×1×1＝，选B.‎ ‎3．[2016·唐山统考]三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A. B．4π C．8π D．20π 答案　C 解析　由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C.‎ ‎4．[2016·武昌调研]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．18＋2π B．20＋π C．20＋ D．16＋π 答案　B 解析　由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S＝4×5＋2×2π×1×1×＝20＋π，故选B.‎ ‎5．[2016·陕西质检]某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 答案　A 解析　根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝.故应选A.‎ ‎6．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为(　　)‎ A．2π B.π C.π D.π 答案　D 解析　如图，取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝＝CM，所以该几何体为正四棱锥，半径R＝，V＝πR3＝，故选D.‎ 二、填空题 ‎7．[2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2.若它们的侧面积相等且＝，则的值是________．‎ 答案　 解析　设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1‎ ‎＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又＝，∴＝，∴＝，则＝2＝.‎ ‎8．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．‎ 答案　π 解析　当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝πr3＝π.‎ ‎9．[2016·云南玉溪一模]表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________．‎ 答案　27‎ 解析　‎ 设球O的半径为R，则有4πR2＝60π，解得R＝.由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D在AB上，如图，当球心O在三棱锥S－ABC中，且D为AB的中点时，SD最大，三棱锥S－ABC的体积最大．设O′为等边三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，即有OO′∥SD.由于OC＝，OO′＝，则CO′＝＝2，则DO′＝，则△ABC是边长为6的等边三角形，则△ABC的面积为×6×3＝9.在直角梯形SDO′O中，作OM⊥SD于M，则OM＝DO′＝，DM＝OO′＝，∴SD＝DM＋MS＝＋＝3，所以三棱锥S－ABC体积的最大值为×9×3 ‎＝27.‎ 三、解答题 ‎10．[2016·达州一模]已知几何体A－BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A－BCED的体积为16.‎ ‎(1)求实数a的值．‎ ‎(2)将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．‎ 解　(1)由该几何体的三视图知AC⊥平面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积V＝×4×＝16，所以a＝2.‎ ‎(2)在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，所以AD＝6，‎ 过点B作AD的垂线BH，垂足为点H，易得BH＝，‎ 该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH＝.‎ 所以圆锥底面周长为c＝2π·＝，两个圆锥的母线长分别为4和2，故该旋转体的表面积为S＝×(2＋4)＝.‎ ‎11．[2016·河北五校联盟质检] ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝，M是棱PC的中点．‎ ‎(1)求证：PA∥平面MQB；‎ ‎(2)求三棱锥P－DQM的体积．‎ 解　(1)证明：连接AC，交BQ于点N，连接MN，CQ，‎ ‎∵BC∥AD且BC＝AD，‎ 即BC∥AQ，BC＝AQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC的中点，又点M是棱PC的中点，‎ ‎∴MN∥PA，又∵PA⊄平面MQB，MN⊂平面MQB，则PA∥平面MQB.‎ ‎(2)连接DM，则VP－DQM＝VM－PDQ，‎ ‎∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴点M到平面PAD的距离为CD，‎ ‎∴VP－DQM＝VM－PDQ＝S△PDQ·CD＝··QD·PQ·CD＝.‎ ‎12．[2016·鹰潭二模]如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2)，在图2所示的几何体D－ABC中．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．‎ 解　(1)证明：在图1中，由题意知，AC＝BC＝2，‎ 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC 因为E为AC的中点，连接DE，则DE⊥AC，‎ 又平面ADC⊥平面ABC，‎ 且平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，所以ED⊥BC 又AC⊥BC，AC∩ED＝E，所以BC⊥平面ACD.‎ ‎(2)取DC的中点F，连接EF，BF，‎ 因为E是AC的中点，所以EF∥AD，‎ 又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，所以AD∥平面BEF，‎ 由(1)知，DE为三棱锥B－ACD的高，‎ 因为三棱锥F－BCE的高h＝DE＝×＝，S△BCE＝S△ABC＝××2×2＝2，‎ 所以三棱锥F－BCE的体积为：‎ VF－BCE＝S△BCE·h＝×2×＝.‎