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- 2021-06-25 发布
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3.1.1
空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈
定义:
既有大小又有方向的量叫向量.
几何表示法:
用有向线段表示;
字母表示法:
用字母
a
、
b
等或者
用有向线段
的起点与终点字母 表示.
相等的向量:
长度相等且方向相同的向量.
A
B
C
D
⒉
平面向量的加减法运算
⑴
向量的加法:
a
b
a
+
b
平行四边形法则
a
b
a
+
b
三角形法则
(首尾相连)
⑵
向量的减法
a
b
a
-
b
三角形法则
减向量
终点指向
被减向量
终点
⒊
平面向量的加法运算律
加法交换律:
a
+
b
=
b
+
a
加法结合律:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
推广
⑴
首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
⑵
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:
二、空间向量及其加减运算
⒈
空间向量:
空间中具有
大小
和
方向
的量叫做向量.
⑴
定义:
⑵
表示方法
:
①
空间向量的表示方法和平面向量一样;
③
空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示.
②
同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量;
2.
空间向量的加法、减法向量
a
+
b
a
b
A
B
b
C
O
a
-
b
⒊
空间向量加法运算律
⑴
加法交换律:
a
+
b
=
b
+
a
;
⑵
加法结合律:
(
a
+
b
)
+ c
=
a
+ (
b
+
c
)
;
a
b
c
a
+
b + c
a
b
c
a
+
b + c
a
+
b
b + c
对空间向量的加法、减法的说明
⒈
空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
⒉
两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立.
⒊
空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加.
推广
⑴
首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
⑵
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:
例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;
(2)若空间向量 满足 ,则 ;
(3)在正方体 中,必有 ;
(4)若空间向量 满足 ,则 ;
(5)空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
变式:
如图所示,长方体中,
AD=2,AA
1
=1,AB=3。
(1)
是写出与 相等的所有向量;
(2)写出与向量 的相反向量。
平行六面体:
平行四边形
ABCD
平移向量
a
到
A
1
B
1
C
1
D
1
的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体。
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
A
1
D
1
C
1
B
1
B
A
C
D
记作
ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1,
它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱。
a
A
B
C
D
A
’
B
’
C
’
D
’
例
2
解:
A
B
C
D
A
’
B
’
C
’
D
’
始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体中,
求证:
A
B
C
D
A
’
B
’
C
’
D
’
变式:
已知平行六面体 则下列四式中:
其中正确的是
。
例4、如图所示,在正方体 中,下列各式中运算的结果为向量 的共有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式:
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法
:
三角形法则
加法
:
三角形法则或
平行四边形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律
加法结合律
小结
加法交换律
加法结合律
类比、数形结合