高考数学人教A版（理）一轮复习：第六篇 第1讲 数列的概念与简单表示法 6页

第六篇 数 列 第1讲 数列的概念与简单表示法 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于 (　　)．‎ A．1 B．－1 C．2 D．0‎ 解析　法一　由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….‎ 由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.‎ 法二　an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，‎ 两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，‎ ‎∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.‎ 答案　B ‎2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是 (　　)．‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析　∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.‎ 两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，‎ ‎∴an＝0(n∈N*)，故选C.‎ 答案　C ‎3．(2013·北京朝阳区一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ (　　)．‎ A．－16 B．16 C．31 D．32‎ 解析　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，‎ 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．‎ ‎∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.‎ 答案　B ‎4．(2013·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝(　　)．‎ A．2 020×2 012 B．2 020×2 013‎ C．1 010×2 012 D．1 010×2 013‎ 解析　结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．‎ 解析　易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．‎ 答案　10或11‎ ‎6．(2013·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.‎ 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝，‎ 则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.‎ 答案　2　n 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．‎ 解　∵an＝an－1＋(n≥2)，‎ ‎∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．‎ 又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＋2＝3n，‎ 即an＝3n－2.‎ ‎8．(13分)(2013·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 013＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ 解析　将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，‎ 得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2 013＝x1＝1.‎ 答案　D ‎2．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为(　　)．‎ A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 解析　由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}‎ 既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，‎ 所以数列{an}为递增数列．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．(2013·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013＝________.‎ 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，‎ ‎∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．‎ 故f(x)周期为4，‎ ‎∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.‎ 答案　 ‎4．(2012·太原调研)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，‎ ‎∴⇒2a1.‎ 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．‎ ‎6．(13分)(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数 列{bm}的前m项和Sm.‎ 解　(1)因为{an}是一个等差数列，‎ 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.‎ 设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.‎ 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．‎ ‎(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，‎ 则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，‎ 故得bm＝92m－1－9m－1.‎ 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ‎＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)‎ ‎＝－ ‎＝.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计·高考总复习》光盘中内容.‎