数学文卷·2018届四川省成都七中嘉祥外国语学校高二下学期期中考试（2017-05） 9页

成都七中嘉祥外国语学校 2016－2017 学年下期高二半期 数学考试试题(文科) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1.复数 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i 2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应先假设这个三角形中( ) A．有一个内角小于 60° B．每一个内角都小于 60° C．有一个内角大于 60° D．每一个内角都大于 60° 3.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴； 礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．” 上述推理用的是( ) A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 5．设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r＝ 2S a＋b＋c， 类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径为 r， 四面体 SABC 的体积为 V，则 r＝( ) A. V S1＋S2＋S3＋S4 B ． 2V S1＋S2＋S3＋S4 C. 3V S1＋S2＋S3＋S4 D． 4V S1＋S2＋S3＋S4 6.已知函数 的图象如图所示，其中 为函数 的导函数，则 的大致图象是( ) 7.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10＋b10 ＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 8.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ） 9.在独立性检验中，随机变量 K2 有两个临界值：3.841 和 6.635.当 K2>3.841 时，有 95%的把 握说明两个分类变量有关；当 K2>6.635 时，有 99%的把握说明两个分类变量有关；当 K2≤ 3.841 时，认为两个分类变量无关，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了 2 000 人， 经计算得 k＝20.87，根据这一数据分析( ) A.在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为打鼾与患心脏病有关 B.约有 95%的打鼾者患心脏病 C.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为打鼾与患心脏病有关 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 10. 一个正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶 点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积 是（ ） 11.设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过 曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12. 定 义 方 程 的 实 数 根 叫 做 函 数 的 “ 新 驻 点 ”， 若 函 数 的“新驻点”分别为 ，则 的大小关 系为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共 90 分 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.复数 的虚部为 . 14. 的 所 有 正 约 数 之 和 可 按 如 下 方 法 得 到 ： 因 为 ， 所 以 的 所 有 正 约 数 之 和 为 ，参照上述方法，可求得 的所有正约数之和为 . 15.当 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为 . 16.如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D， 满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本题满分 10 分)已知 z＝1＋i，a，b 为实数． (1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；(2)若 z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i，求 a，b 的值． 1８. (本题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) ＝ k 3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用 与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值． 1９．(本题满分 12 分,每小题 6 分) (1)已知 a＞0，b＞0， 1 b－ 1 a＞1.求证：＞ 1 1－b. (2) 已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d 中至少有一个 是负数． 20.(本题满分 12 分)北京时间 4 月 14 日，是湖人当家球星科比·布莱恩特的退役日，当天有 大量友关注此事。某上论坛有重庆友 200 人，四川友 300 人。为了解不同地区对“科比退役” 事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取 100 名友，先分别统计他们在论坛的留 言条数，再将留言条数分成 5 组： ， ， ， ， ，分别 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。 规定留言不少于 60 条为“强烈关注”，否则为“一般关注”。 友 强烈关注 一般关注 合计 重庆市 四川省 合计 完成上表，并判断是否有 90%以上的把握认为关注程度与友所在地区有关？ 附：临界值表及参考公式： 。 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706[来 3.841 5.024 6.635[来 7.879 10.828 21.（本题满分 12 分）如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ACB=90°， BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （I）求证：BF⊥平面 ACFD； （II）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值. 22. （本题满分 12 分）已知函数 （ 为实数）． （Ⅰ）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程； （Ⅱ）设函数 （其中 为常数），若函数 在区间 上不存在极值， 且存在 满足 ，求 的取值范围； （Ⅲ）已知 ，求证： ． 成都七中嘉祥外国语学校 2016－2017 学年下期高二半期 数学考试试题(文科)解答 一、B B D C C B C B C C A C 二、13. -1；14. ；15.210；16. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17． 解 (1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝＝. (2)由条件 z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i，得 (1＋i)2＋a(1＋i)＋b (1＋i)2－(1＋i)＋1 ＝1－i. 即 (a＋b)＋(a＋2)i i ＝1 －i ∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴ a＋b＝1 a＋2＝1，解得 a＝－1 b＝2 . 1８. 解 (1)设隔热层厚度为 xcm， 由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝ k 3x＋5，再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ 40 3x＋5， 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× 40 3x＋5＋6x＝ 800 3x＋5＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－ 2400 (3x＋5)2， 令 f′(x)＝0，即 2400 (3x＋5)2＝6.解得 x＝5，x＝－ 25 3 (舍去)， 当 00， 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ 800 15＋5＝70. 当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元. 1９．证明(1) 要证＞ 1 1－b成立， 只需证 1＋a＞ 1 1－b， 只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即 1－b＋a－ab＞1， ∴a－b＞ab，只需证： a－b ab ＞1，即 1 b－ 1 a＞1. 由已知 a＞0， 1 b－ 1 a＞1 成立，∴＞ 1 1－b成立． (2) 假设 a，b，c，d 都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1.这与已知 ac＋bd>1 矛盾， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数． 21.【解析】 试题分析：（I）先证 ，再证 ，进而可证 平面 ；（II）先找 直线 与平面 所成的角，再在 中计算，即可得线 与平面 所 成的角的余弦值． 试题解析：（I）延长 相交于一点 ，如图所示， 因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，因此 ， 又因为 ， ， ，所以 为等边三角形，且 为 的中点，则 ， 所以 平面 . （II）因为 平面 ，所以 是直线 与平面 所成的角， 在 中， ，得 ， 所以直线 与平面 所成的角的余弦值为 . 22.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 ；（Ⅲ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）当 时， ， ， 则 ， 函数 的图象在点 的切线方程为： ， 即 3 分 （Ⅱ） ，由 由于函数 在区间 上不存在极值，所以 或 4 分 由于存在 满足 ，所以 5 分 对于函数 ，对称轴 ①当 或 ，即 或 时， ， 由 ，结合 或 可得： 或 ②当 ，即 时， ， 由 ，结合 可知： 不存在； ③当 ，即 时， ； 由 ，结合 可知： 综上可知： 或 8 分 （Ⅲ）当 时， ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，∴ 在 处取得最大值 即 ，∴ ， 10 分 令 ，则 ，即 ， ∴ ． 故 ． 12 分 考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.