高中数学 1-2-2 复合函数的导数双基限时训练 新人教版选修2-2 3页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-2-2‎ 复合函数的导数双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是(　　)‎ A．y＝un，u＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案　C ‎2．下列函数在x＝0处没有切线的是(　　)‎ A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx C．y＝＋2x D．y＝ 解析　因为y＝＋2x在x＝0处没意义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．‎ 答案　C ‎3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0‎ 解析　设切点为(x0，x)，则斜率k＝2x0＝2，‎ ‎∴x0＝1，∴切点为(1,1)．‎ 故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ 答案　D ‎4．y＝loga(2x2－1)的导数是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　y′＝(2x2－1)′＝.‎ 答案　A ‎5．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝2，则a的值为(　　)‎ A．a＝1 B．a＝2‎ C．a＝ D．a>0‎ 解析　f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝·2ax＝.‎ 由f′(1)＝2，得＝2，∴a＝2.‎ 答案　B ‎6．曲线y＝ sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________．‎ 解析　y′＝(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，‎ ‎∴k＝y′|x＝π＝2.‎ 又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)．‎ 答案　y＝2(x－π)‎ ‎7．f(x)＝e2x－2x，则＝________.‎ 解析　f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)．‎ ‎∴＝＝2(ex＋1)．‎ 答案　2(ex＋1)‎ ‎8．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.‎ 解析　∵f′(x)＝，∴f′(1)＝.‎ 答案　 ‎9．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．‎ 解　∵函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，‎ ‎∴得a＝－8,4b＋c＝0，‎ ‎∴f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8.‎ 又当x＝2时，f′(2)＝16，g′(2)＝4b，‎ ‎∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.‎ ‎∴a＝－8，b＝4，c＝－16.‎ ‎10．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．‎ 解　∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2xsin3x，‎ ‎∴y′|x＝0＝2.∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.‎ 依题意，可设l的方程为2x－y＋b＝0，则＝.解得b＝6或b＝－4.‎ ‎∴直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.‎ ‎11．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．‎ 解　∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1，‎ 即直线l的斜率为1，切点为(1,0)．‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1.‎ 又l与g(x)的图象也相切，等价于方程组只有一解，即方程x2－x＋1＋a＝0有两个相等的实根，‎ ‎∴Δ＝1－4×(1＋a)＝0，∴a＝－.‎ ‎12．已知曲线y＝5.‎ ‎(1)求该曲线与直线y＝2x－4平行的切线方程；‎ ‎(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．‎ 解　(1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，‎ 得y′＝，∴y′|x＝x0＝.‎ ‎∵切线与直线y＝2x－4平行，∴＝2，‎ ‎∴x0＝，∴y0＝.‎ 故所求的切线方程为y－＝2，‎ 即16x－8y＋25＝0.‎ ‎(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5上，故设切点为M(m，n)，则切线的斜率为.‎ 又∵切线的斜率，∴＝＝，‎ ‎∴m－2＝0.解得m＝4或m＝0(舍去)．‎ ‎∴切点M(4,10)，切线的斜率为.‎ 故切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.‎