四川省雅安市高中2020届高三第三次诊断数学（文）试题 9页

雅安市高中2017级第三次诊断性考试 数学试题（文科）‎ ‎（本试卷满分150分，答题时间120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.‎ ‎ 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡收回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A=，B=，则 A. B. C. D.‎ ‎2.复数满足，是虚数单位，则 A. B. C. D.‎ ‎3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，测得的数据如下：‎ 零件数（个）‎ 加工时间（分钟）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A．34 B．‎35 C．36 D．37‎ ‎4.已知，则 A. B. C. D.‎ ‎5.函数的大致图象为 A． B．‎ C． D．‎ ‎6.已知平面平面，是内的一条直线，是内的一条直线，且，则 A. B. C. 或 D. 且 ‎7.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n的值为.‎ ‎(参考数据：）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数在处取得最大值,则 A.1 B. C. -1 D .‎ ‎9.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎10.已知直线被圆M：截得的弦长为，且圆N的方程为,则圆M与圆N的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 ‎11.已知抛物线，过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A,B两点，点M的坐标为（-2 ，0），且为直角三角形，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎12.设奇函数的定义域为，且的图像连续不间断，，有，若，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.同时掷两颗骰子，其向上的点数和为11的概率是 __________ （用数字作答）‎ ‎14.的内角、、的对边分别为、、，若，则 ‎=__________．‎ ‎15.在直三棱柱中，,,,,,则异面直线与所成角的余弦值为__________ ‎ ‎16.若函数恰有三个零点，则的取值范围为__________ ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．‎ ‎（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．‎ ‎18.(12分) 已知数列是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:.‎ ‎（1）求数列与的通项公式;‎ ‎（2）设数列满足，其前n项和为求证:‎ ‎19.(12分)如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥E-BCF体积．‎ ‎20.(12分)己知函数，它的导函数为.‎ ‎（1）当时，求的零点；‎ ‎（2）若函数存在极值点，求的取值范围．‎ ‎21.(12分)已知椭圆C：的短轴长为2，离心率.过椭圆的右焦点作直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于不同的两点A,B.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求的值.‎ ‎23.(10分)[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知.‎ ‎（1）在时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ 结束 输出n 是 否 开始 S S 结束 输出n 是 否 开始 S S ‎ 雅安市高中2017级第三次诊断性考试 数学试题（文科）参考解答及评分意见 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ABCBC CBDCA BD 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17（12分）‎ ‎（1）由频率分布直方图，得：‎ ‎0.05+0.1+0.2+‎10a+0.25+0.1=1，‎ 解得a=0.03.........................................................2分 ‎（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，‎ ‎∴数学成绩不低于60分的人数为：‎ ‎1000×0.85=850（人）．..............................................6分 ‎（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），‎ 数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），‎ 设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，‎ 从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，‎ 基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}共15种，‎ 其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：‎ ‎{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，‎ ‎∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．............12分 ‎18（12分）‎ 解：（1）为等差数列,设公差为,‎ ‎ ……………………….............3分 为等比数列, ,设公比为,则,‎ ‎ ‎ ‎ ………………………..........…..6分 ‎（2）由（1）得=‎ ①‎ ‎②‎ 由①-②得: ‎ ‎ ……………..…..…11分 ‎..............................................................................12分 ‎19（12分）‎ 解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD…………..................……1分 ‎∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC………………….................…….2分 又∵； ∴AC⊥平面BDF ……….................…4分 而， ∴平面ACF⊥平面BDF…………..........…6分 ‎（2）取BC中点O，连接EO，OD ‎∵△BCE为正三角形，∴EO⊥BC ‎ 平面BCE⊥平面ABCD且交线为BC，∴EO⊥平面ABCD……………….…8分 ‎∵FD⊥平面ABCD，∴EO∥FD，∴FD∥平面BCE ‎∴………..................……10分 ‎∵EO= ‎∵.............................12分 ‎20（12分）‎ ‎（1）的定义域为，‎ 当时，，．.............................2分 易知为上的增函数，........................................3分 又，所以是的零点．............................5分 ‎（2），存在极值点，...................6分 所以有解 得设，，............................9分 令，..................................................................................10分 上g（x)减，上g(x)增 ‎,,.‎ 所以 又当时，即在上是增函数，所以没有极值点.‎ 所以..........................................................................................12分 ‎21（12分）‎ 解：（1）由题设知2b=2,,,又因为，，‎ 且，.............................................................................................1分 联立求解得：a=2,b=1椭圆C的方程为：................................3分 ‎(2)存在定点,满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. .....4分 由题设知，直线l的斜率不为0，‎ 设直线的方程为x+my=0,‎ 与椭圆C的方程联立得...................................................................................（5分）‎ 整理得 设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0)(依题意t≠x1,t≠x2).‎ 由根与系数的关系可得, ............................7分 直线QA与直线QB恰好关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数,‎ 所以即 .........................................8分 又 所以整理得,‎ ‎ ............................................................................10分 从而可得 即, ‎ 所以当,即时,直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. ...........11分 所以，在轴上存在点,满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称...12分 ‎22（10分）‎ ‎（1）由消去参数可得普通方程为，….........…2分 ‎∵，∴，由 ，得曲线的直角坐标方程为；.................................................……5分 ‎（2）由（1）得曲线，其极坐标方程为，….......…6分 由题意设，则，…….................…8分 ‎∴，∴，∵，∴. ……...…10分 ‎23（10分）‎ 解：（1）在时，. …................................…1分 在时，，∴； ‎ 在时，，，∴无解； ‎ 在时，，，∴.…..........…4分 综上可知：不等式的解集为.…......................…5分 ‎（2）∵恒成立，……6分 而，或，‎ 故只需恒成立，或恒成立，…...............…9分 ‎∴或.∴的取值为或.……............................10分