数学卷·2019届江苏省宿迁市高二上学期期末考试（2018-01） 9页

宿迁市2017—2018学年度高二第一学期期末 数学试卷 ‎（考试时间120分钟，试卷满分160分)‎ 参考公式：样本数据的方差，其中．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．写出命题“”的否定： ▲ ．‎ ‎（第6题）‎ 开始 S←0,n←1‎ n <4‎ n←n+1‎ 输出S 结束 Y N ‎2．抛物线的准线方程是 ▲ ．‎ ‎3．直线和圆的公共点 ‎ 个数为 ▲ ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．‎ I←1，S←0‎ While I<9‎ S←S+2I I←I+3‎ End While Print S ‎（第4题）‎ ‎ ‎ ‎5．已知长方形中，，，为的中点，若在长方形内随机 ‎ 取一点，则的概率为 ▲ ．‎ ‎6．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S为 ▲ ．‎ ‎7．已知一组数据，8，7，9，7，若这组数据的平均数为，则它们的方差为 ▲ ．‎ ‎8．以为圆心且与圆外切的圆的标准方程为 ▲ ．‎ ‎9．若函数的图象在点处的切线方程为，则 ‎ 的值为 ▲ ．‎ ‎10．已知双曲线与有公共渐近线，且一个焦点为，则双曲线的 标准方程为 ▲ ．‎ ‎11．已知，则“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的 ▲ ‎ ‎ 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．‎ ‎12．函数在上的最大值是 ▲ ．‎ ‎13．已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴 ‎ ‎ 上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为 ▲ ．‎ ‎14．已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围 ‎ 是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 已知命题，命题点在圆的 ‎ 内部．‎ ‎ (1)若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎ (2)若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ 某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司 ‎（第16题）‎ 用电量/度 ‎0.0006‎ ‎0.0008‎ ‎0.0014‎ ‎0.0018‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎1000‎ ‎1200‎ ‎0.0002‎ ‎0‎ 获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[0,200)‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎2‎ ‎[200,400)‎ e f ‎3‎ ‎[400,600)‎ ‎14‎ ‎0.28‎ ‎4‎ ‎[600,800)‎ c d ‎5‎ ‎[800,1000)‎ a b ‎6‎ ‎4‎ ‎0.08‎ ‎[1000,1200]‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户 ． ‎ ‎ ①求第5、6两组各取多少户？‎ ‎ ②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户 ‎ ‎ 月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 如图，已知圆，点．‎ ‎ (1)求经过点且与圆相切的直线的方程；‎ ‎ (2)过点的直线与圆相交于两点，为线段的中点，求线段长 ‎ ‎（第17题）‎ A．‎ x O M．‎ y ‎ 度的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，‎ 先在其中相邻两个角处各切去一个边长是的正方形，然后在余下两个角处各切去 一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个 有盖的长方体包装盒．‎ ‎60‎ ‎（第18题）‎ ‎ ‎ ‎(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；‎ ‎ (2)当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知椭圆的左焦点为,且过点．‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程；‎ ‎ (2)已知分别为椭圆的左、右顶点,为直线上任意一点，直线分 别交椭圆于不同的两点．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ y A1‎ x O Q M ‎．‎ F1‎ A2‎ N ‎（第19题）‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知函数,其中为正实数．‎ ‎ (1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；‎ ‎ (2)求函数的单调区间；‎ ‎ (3)若函数有两个极值点，求证：．‎ 高二数学试题参考答案与评分标准 ‎1． 2． 3． 2 4． 24 ‎ ‎5． 　 6． 7． 8． ‎ ‎9． 10． 11．必要不充分 12．‎ ‎13． 14．‎ ‎15．（1）因为恒成立，‎ ‎ 则， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎ ‎　　　解得，所以实数的取值范围是． ．．．．．．．6分 ‎ ‎（2）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题． ．．．．．．．8分 ‎ 当为真命题时，，解得，‎ 所以为假命题时 ．．．．．．．10分 ‎ 由（1）知，为假命题时 ．．．．．．．12分 ‎ 从而，解得 ‎ 所以实数的取值范围为 ．．．．．．．14分 ‎ ‎16．（1）频率分布直方图，知第5组的频率为，即 ．．2分 又样本容量是50，所以．………………………………………………4分 ‎（2）①因为第5、6两组的频数比为，‎ 所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，‎ 第5、6两组的频数分别为3和2．………………………6分 ②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件，‎ 第5组的3户记为，第6组的2户记为，‎ 从这5户中随机选出2户的可能结果为：‎ ‎，共计10个，………9分 其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：‎ ‎，共计7个．………………………………12分 所以， ‎ 答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为．…14分 ‎17．（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．……………2分 当切线的斜率存在时，设：，即，‎ 圆心到切线的距离等于半径3，‎ ‎，解得．……………… 4分 切线方程为，即 故所求直线的方程为或．………………6分 ‎（2）由题意可得，点的轨迹是以为直径的圆，记为圆． ……………8分 ‎ 则圆的方程为．………………10分 从而， …………12分 所以线段长度的最大值为，最小值为，‎ 所以线段长度的取值范围为．……………14分 ‎18．（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为， ‎ 所以铁皮箱的体积．……………4分 函数的定义域为．………………………………………………6分 ‎（2）由（1）得，，‎ 令，解得．…………………………………10分 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减．………………………12分 所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值．‎ 又．…………………………15分 答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．………16分 ‎19．(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, ．．．．．2分 ‎ ‎ 由椭圆的定义知:，代入计算得． ．．．．．．．4分 ‎ ‎ 又, 所以椭圆的标准方程为． ．．．．．．．6分 ‎ ‎ (2)设，‎ ‎ 则直线，与联立，解得 8分 ‎ ‎ 同理 ．．．．．．．10分 ‎ ‎ 所以直线的斜率为= ．．．．．．．12分 ‎ 所以直线．．14分 ‎ 所以直线恒过定点，且定点坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 ‎20．(1)因为，所以，．．．．．．．．2分 ‎ 则,所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎ (2)，函数的定义域为，‎ ‎ 若,即,则,此时的单调减区间为;6分 ‎ 若,即,则的两根为,．．．．．．．．．．8分 ‎ 此时的单调减区间为,,‎ ‎ 单调减区间为．．．．．．．．．．．．．10分 ‎ (3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 要证,只需证．．．．．．．．．．．．12分 ‎ 构造函数，则，‎ ‎ 在上单调递增,又,且在定义域上不间断,‎ 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．．．14分 ‎ 则在上递减,上递增,所以的最小值为． ‎ 因为, ‎ ‎ 当时,,则,所以恒成立．‎ ‎ 所以,所以，得证．．．．16分