高中数学选修2-3教学课件：1事件的相互独立性 24页

1 、事件的相互独立性 相互独立事件及其同时发生的概率 设 A ， B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 。 即事件 A （或 B ）是否发生 , 对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件 。 ② 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 是不是相互独立的 注： ① 区别： 互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥 是指这两个事件不可能同时发生 ； 两个事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。 相互独立 2 、相互独立事件同时发生的概率公式： “ 第一、第二次都取到白球” 是一个事件， 它的发生就是事件 A,B 同时发生，将它记作 A • B 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件 A 1 ， A 2 …… ， An 相互独立，那么这 n 个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P （ A 1 ·A 2 …… A n ） =P （ A 1 ） ·P （ A 2 ） …… P （ A n ） 两个相互独立事件 A,B 同时发生 , 即事件 A •B 发生的概 率为： 相互独立事件的定义 : 设 A,B 两个事件 , 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 ( 即 ), 则称事件 A 与事件 B 相互独立 . 显然 : (1) 必然事件  及不可能事件与任何事件 A 相互独立 . ① ② ③ (2) 若事件 A 与 B 相互独立 , 则以下三对事件也相互独立 : 例如证 ① 练习 1. 判断下列事件是否为相互独立事件 . ①   篮球比赛的 “ 罚球两次 ” 中， 事件 A ：第一次罚球，球进了 . 事件 B ：第二次罚球，球进了 . ② 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球 . 事件 A ：第一次从中任取一个球是白球 . 事件 B ：第二次从中任取一个球是白球 . ③ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球 . 事件 A ：第一次从中任取一个球是白球 . 事件 B ：第二次从中任取一个球是白球 . 例 1 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人 击中目标的概率都是 0.6 ，计算： （ 1 ）两人都击中目标的概率 ； （ 2 ）其中恰由 1 人击中目标的概率 （ 3 ）至少有一人击中目标的概率 解： (1) 记“甲射击 1 次 , 击中目标”为 事件 A. “ 乙射 击 1 次 , 击中目标”为 事件 B . 答：两人都击中目标的概率是 0.36 且 A 与 B 相互独立， 又 A 与 B 各射击 1 次 , 都击中目标 , 就是事件 A,B 同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式 , 得到 P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6 ＝ 0.36 例 1 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6 ，计算： (2) 其中恰有 1 人击中目标的概率？ 解： “二人各射击 1 次， 恰有 1 人击中目标 ”包括两种情况 : 一种是甲击中 , 乙未击中（事件 ） 答：其中恰由 1 人击中目标的概率为 0.48. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是 另一种是 甲未击中，乙击中（事件 Ā•B 发生）。 B A • 根据题意，这两 种情况在各射击 1 次时不可能同时发生，即事件 Ā •B 与 互斥， 例 1 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6 ，计算： （ 3 ）至少有一人击中目标的概率 . 解法 1 : 两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 解法 2 ： 两人都未击中的概率是 答：至少有一人击中的概率是 0.84. 巩固练习 在一段时间内，甲地下雨的概率是 0.2 ，乙地下雨 的概率是 0.3 ，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （ 1 ）甲、乙两地都下雨的概率； （ 2 ）甲、乙两地都不下雨的概率； （ 3 ）其中至少有一方下雨的概率 . P=0.2×0.3 ＝ 0.06 P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 P=1-0.56=0.44 例题 2 某战士射击中靶的概率为 0.99. 若连续射击两次 . 求 : (1) 两次都中靶的概率 ;(2) 至少有一次中靶的概率 : (3) 至多有一次中靶的概率 ;(4) 目标被击中的概率 . 分析 : 设事件 A 为“第 1 次射击中靶” . B 为“第 2 次射击中靶” . 又∵ A 与 B 是互斥事件 . ⑴ “ 两次都中靶” 是指 “事件 A 发生且事件 B 发生” 即 A·B ∴ P( A·B ） = P （ A ） ·P （ B ） = （ 2 ） “ 至少有一次中靶” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) （ 3 ） “ 至多有一次中靶” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) （ 4 ） “ 目标被击中” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) 练习 2 、 若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 7 中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是 ( ) (A) (B) (D) (C) 练习 3. 某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是 P 1 ,P 2 ,P 3 。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是 。 D (1 － P 1 ) (1 － P 2 ) (1 － P 3 ) 练习 4 . 甲、乙两人独立地解同一问题 , 甲解决这个问题的概率是 P 1 , ，乙解决这个问题的概率是 P 2 ，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是多少？ P 1 (1 － P 2 ) +(1 － P 1 )P 2 +P 1 P 2 =P 1 + P 2 － P 1 P 2 练习 5: 已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为 0.5, 老二为 0.45, 老三为 0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解 : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以 ，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮 . 例 3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的 概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 不是一等品的概率为 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等 品的概率为 。 （ 1 ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （ 2 ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。 高考真题 例 4 （ 05 ，全国）盒中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球有 3 个，标号为 2 的球有 4 个，标号为 5 的球有 3 个，第一次从盒中取 1 个球，放回后第二次再取 1 个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的分布列。 高考真题 例 5 （ 06 ，四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9 、 0.8 、 0.7 ；在实验考核中合格的概率分别为 0.8 、 0.7 、 0.9 。所有考核是否合格相互之间没有影响。 （ 1 ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （ 2 ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 (1) 列表比较 不可能同时发生的两个事件 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 P ( A + B )= P ( A )+ P ( B ) (2) 解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件 . 研究性题 : 在力量不是十分悬殊的情况下我们解释了 “ 三个臭皮匠顶个诸葛亮 ” 的说法 . 那么你能否用概率的知识解释我们常说的 “ 真理往往掌握在少数人手里的 ” ？ A 、 B 互斥 A 、 B 独立 常见类型如下： 一个元件能正常工作的概率 r 称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为 r (0< r <1) ，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。 P 1 = r 2 P 2 =1 － (1 － r ) 2 P 3 =1 － (1 － r 2 ) 2 P 4 =[1 － (1 － r ) 2 ] 2 附 1 ： 用数学符号语言表示下列关系： 若 A 、 B 、 C 为相互独立事件，则 ① A 、 B 、 C 同时发生； ② A 、 B 、 C 都不发生； ③ A 、 B 、 C 中恰有一个发生； ④ A 、 B 、 C 中至少有一个发生的概率； ⑤ A 、 B 、 C 中至多有一个发生 . 注 : (1) 若事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 中任意两个事件相互独立， 则称事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 两两相互独立 . (2) 设 A 1 ， A 2 ， … ， A n 为 n 个事件 ， 若对于任意 k (1≤ k ≤ n ), 及 1 ≤ i 1 < i 2 < ··· < i k ≤ n 则称事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 相互独立 . ① A·B·C ② A · B · C ③A · B · C ＋ A · B · C ＋ A · B · C ④1 － P( ) A · B · C A · B · C ⑤A · B · C ＋ A · B · C ＋ A · B · C ＋ 则 “ 至少有一个发生” 的概率为 P ( A 1  …  A n ) = 1- (1- p 1 ) …(1- p n ) 附 2. 若设 n 个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生” 的概率为 “ =1 - p 1 … p n 练习 5 附 3. 如图 , 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中有 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作 . 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7 ，计算在这段时间内线路正常工作的概率 . 解： 分别记这段时间内开关 J A ,J B ,J C 能够闭合为事件 A ， B ， C. 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响 , 根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 ∴ 这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是 1. 射击时 , 甲射 10 次可射中 8 次 ; 乙射 10 次可射中 7 次 . 则 甲 , 乙同时射中 同一目标的概率为 _______ 2. 甲袋中有 5 球 (3 红 ,2 白 ), 乙袋中有 3 球 (2 红 ,1 白 ). 从每袋中任取 1 球 , 则 至少取到 1 个白球 的概率是 ___ 14 15 3 5 3. 甲 , 乙二人单独解一道题 , 若甲 , 乙能解对该题的概率 分别是 m, n . 则 此题被解对 的概率是 _______ m+n- mn 4. 有一谜语 , 甲 , 乙 , 丙猜对的概率分别是 1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中 恰有一人猜对 该谜语的概率是 _____ 13 30 P(A+B)=P(A· B )+P( A ·B) + P(A·B)=1 - P( A · B ) 课堂练习 7. 在 100 件产品中有 4 件次品 . ① 从中抽 2 件 , 则 2 件都是次品概率为 ___ ② 从中抽两次 , 每次 1 件则两次都抽出次品的概率是 ___ ( 不放回抽取 ) ③ 从中抽两次 , 每次 1 件则两次都抽出次品的概率是 ___ ( 放回抽取 ) C 4 2 C 100 2 C 4 1 ·C 3 1 C 100 1 ·C 99 1 C 4 1 ·C 4 1 C 100 1 ·C 100 1 5. 加工某产品须经两道工序 , 这两道工序的次品率分别 为 a, b. 且这两道工序互相独立 . 产品的合格的概率 是 __. (1-a)(1-b) 6. 某系统由 A,B,C 三个元件组成 , 每个元件正常工作概率为 P. 则系统正常工作的概率为 ____ A B C P+P 2 - P 3 课堂练习