【数学】重庆市十一中、七中等七校2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版） 17页

重庆市十一中、七中等七校2019-2020学年 高二上学期期末考试试题www.ks5u.com 一、选择题 ‎1.若：，，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题P：∀x∈R，cosx≤1，则￢P：∃x0∈R，cosx0＞1．‎ 故选A．‎ ‎2.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 ‎【答案】D ‎【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，‎ ‎，故选D.‎ ‎3.已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦 点，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的标准方程为，‎ 椭圆中的，，则，‎ 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，‎ 双曲线的离心率为，，则．‎ 在双曲线中，则双曲线的方程为，‎ 故选：B．‎ ‎4.已知命题，命题，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，‎ 的一个充分不必要条件是，，‎ 故选：A．‎ ‎5.如图，已知三棱锥的各条棱长均相等，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，连结，，‎ 三棱锥的各棱长都相等，为中点，‎ ‎，是异面直线与所成角（或所成角的补角），‎ 设三棱锥的各棱长为2，‎ 则，，‎ ‎．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：B．‎ ‎6.已知圆，直线，若圆上恰有4个不同的点到直线的距离都等于1，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程：，‎ 可得圆的圆心为原点，半径为 若圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于，‎ 直线的一般方程为：，‎ 解得，即的取值范围为．‎ 故选：C．‎ ‎7.设F1、F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆，可得，则，‎ 设，由椭圆的定义可知：，‎ 因，得，‎ 由勾股定理可得：，即，‎ 可得，解得，即，‎ 所以的面积为.‎ 故选C.‎ ‎8.过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，动直线经过定点，‎ 动直线即，‎ 令解得，经过点定点，‎ 过定点的直线与过定点的直线始终垂直，‎ 又是两条直线的交点，有，‎ ‎．‎ 故（当且仅当时取“” ‎ 故选：A．‎ ‎9.过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且 与准线交于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，焦点，准线，‎ 设直线的方程为：，，‎ 联立直线方程得消去得 ‎，‎ 过作轴，过作轴，‎ ‎，‎ ‎，，故选：D.‎ ‎10.已知四棱锥中，平面平面，为矩形，为等腰直角三角形， ，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】取的中点，连接，连结，交于，连接，‎ 依题意可得，因为平面平面，平面平面，‎ 平面，，‎ ‎，，‎ 是矩形，，，‎ 为四棱锥的外接球的球心，且外接球的半径，‎ 四棱锥的外接球的表面积．‎ 故选：B. ‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线左支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切点为，连接，作作，垂足为，‎ 由，且为的中位线，可得 ‎，，即有，‎ 在直角三角形中，可得，即有，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 可得，即双曲线的渐近线方程为．‎ 故选：A．‎ ‎12.如图，，，是由直线引出三个不重合的半平面，其中二面角大小为60°，在二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，.记椭圆，的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，‎ 设，在平面内的投影为，平面内的投影为，‎ 设，则 则，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 故选：C. ‎ 二．填空题 ‎13.直线与直线平行，则的值为_________.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】直线化为：．‎ 直线和直线平行，则，．‎ 故答案为：．‎ ‎14.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：故答案为 ‎15.抛物线上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，‎ 则点到焦点的距离为，则，抛物线方程：，‎ 过作于抛物线的准线，交准线于点，准线交轴于点，如图所示 圆圆心为，半径为，‎ 由抛物线的定义可知，‎ 当且仅当在坐标原点，在圆与轴的左交点时取最小值.‎ 故答案为：‎ ‎16.已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为 的小球缓慢放入容器中，若小球能完全淹入水里，则的取值范围是 ‎_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意临界条件为小球与正方体的三个面及大球均相切，如图所示 设大球的球心为，正方体的棱长为，‎ 正方体的内切球的半径，正方体的体对角线为，‎ 设小球球的半径为，作出对应的轴截面图如图：‎ 则，且，‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ 故，故答案为：‎ 三．解答题 ‎17.已知点点两点.‎ ‎（1）求以为直径的圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于两不同点，求线段的长度.‎ ‎【解】（1）由题意圆心中点，所以 半径 所以圆的方程为； ‎ ‎（2）圆心到直线的距离 所以，所以 ‎18.如图：三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解】（1）证明：，‎ 三棱柱侧棱垂直于底面，面，故，‎ ‎，面，面，面，‎ 面， ‎ 为中点，在中，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 面，面，‎ 面，面，‎ 面面 ‎（2）依题意可知：直线，，两两垂直 以为原点，建立如图所示坐标系 设，，‎ ‎，，，‎ ‎，， ，‎ 设面的法向量为 即 取 ‎，‎ 所以与面所成角的正弦值 ‎ ‎19.如图：在四棱锥中，已知底面是菱形且，侧棱，为线段上的中点，为线段上的定点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，且直线平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）证明：，为中点，‎ 四边形为菱形，， ‎ 设，则，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎，即 ‎，平面，平面 平面 ‎（2）是等腰三角形，，，‎ ‎，，‎ 连接交与，连接交于，连接，‎ 平面，平面，平面平面，‎ ‎，，‎ 四边形是菱形，，‎ ‎，，，‎ 到平面的距离．‎ ‎．‎ ‎20.抛物线上的点到点的距离与到轴距离之差为1，过点的直线交抛物线于，两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【解】（1）设，‎ 依题意有： ‎ 故抛物线方程为： ‎ ‎（2）因为，设直线的方程为：，‎ ‎，消去得 设，，，‎ ‎，‎ 解之可得：，所以直线的方程为：‎ ‎21.如图：多面体中，四边形为矩形，二面角为60°，，，，，．‎ （1） 求证：平面；‎ ‎（2）线段上一点，若锐二面角的正弦值为，求.‎ ‎【解】（1）证明：四边形为矩形，‎ ‎，面，面，‎ 平面，‎ ‎，面， 面，面，‎ ‎，面，面面，‎ 面，面 ‎（2）解：由题意知：，，‎ 即为二面角的平面角，‎ ‎，面，在平面上过作，‎ ‎，，，两两垂直，‎ 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示直角坐标系 设 ，，‎ 面，面法向量 设面法向量为，‎ ‎，‎ 得 令得， ‎ ‎，解之可得：，（舍） ‎ ‎，‎ ‎22.已知椭圆，离心率为，点在椭圆上，且的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，.‎ 若，求直线的方程.‎ ‎【解】（1）依题意可知：，‎ 的周长 ‎，，，‎ 椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）延长，交椭圆于点 又由，故，且，关于原点对称 点，关于原点对称 ‎，，‎ 设直线的方程为：，， ‎ ‎ ‎ 消去得 ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在轴上方，，， ‎ 直线的方程为：，‎ 即