【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第7节解三角形应用举例学案 18页

第 7 节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算 有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰 角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为α(如图 2). 3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30°，北偏西 45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余 弦定理求解. [微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东 45°的方向.( ) (2)从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝ 180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0，π 2 .( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.( ) 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(必修 5P11 例 1 改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在 的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.25 2 2 m 解析 由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ AC sin ∠CBA ， 又∵∠CBA＝30°， ∴AB＝ACsin∠ACB sin ∠CBA ＝ 50× 2 2 1 2 ＝50 2(m). 答案 A 3. (必修 5P15 练习 T3 改编)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60°，30°，则 A 点离地面的高度 AB＝ ________. 解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD＝ 3a，所以在 Rt△ADB 中，AB＝1 2AD＝ 3 2 a. 答案 3 2 a 4.(2019·雅礼中学月考)如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80° 解析 由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80°. 答案 D 5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上 能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数 点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六 边形的面积 S6，S6＝________. 解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为 1 的正三角形， 从而 S6＝6×1 2 ×12×sin 60°＝3 3 2 . 答案 3 3 2 6.(2018·福州模拟)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin ∠BAC ＝2 2 3 ，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为________. 解析 因为 sin∠BAC＝2 2 3 ，且 AD⊥AC， 所以 sin π 2 ＋∠BAD ＝2 2 3 ， 所以 cos∠BAD＝2 2 3 ，在△BAD 中，由余弦定理， 得 BD＝ AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD ＝ （3 2）2＋32－2×3 2×3×2 2 3 ＝ 3. 答案 3 考点一 求距离、高度问题 多维探究 角度 1 测量高度问题 【例 1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在 西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m. 解析 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 600 sin 45° ＝ BC sin 30° ， 解得 BC＝300 2(m). 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 3 3 ＝100 6(m). 答案 100 6 规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的 角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 【训练 1】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB 等于( ) A.5 6 B.15 3 C.5 2 D.15 6 解析 在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得 BC sin 30° ＝ 30 sin 135° ， 所以 BC＝15 2. 在 Rt△ABC 中， AB＝BCtan ∠ACB＝15 2× 3＝15 6. 答案 D 角度 2 测量距离问题 【例 1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的 山路 BC 和一条索道 AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2 个小时的时间进行 徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王 和小李徒步攀登的速度为每小时 1 250 米，请问：两位登山爱好者能否在 2 个小 时内徒步登上山峰？(即从 B 点出发到达 C 点) 解 在△ABD 中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°， 所以 AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得 AB sin ∠ADB ＝ AD sin ∠ABD ， 解得 AD＝ 3 km， 在△ACD 中， 由 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°， 得 9＝3＋CD2＋2 3× 3 2 CD， 即 CD2＋3CD－6＝0，解得 CD＝ 33－3 2 km(负值舍去)， BC＝BD＋CD＝ 33－1 2 km， 两个小时小王和小李可徒步攀登 1 250×2＝2 500 米， 即 2.5 千米，而 33－1 2 < 36－1 2 ＝5 2 ＝2.5， 所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰. 规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其 他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练 2】海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号” 在 A 处北偏东 45°的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105°的方向以 每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短 时间为________小时. 解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时，如图， 则由已知得△ABC 中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°. 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°， 整理，得 36x2－9x－10＝0， 解得 x＝2 3 或 x＝－ 5 12(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为2 3 小时. 答案 2 3 考点二 测量角度问题 【例 2】 已知岛 A 南偏西 38°方向，距岛 A3 海里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的 一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向 以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ 参考数据：sin 38°≈5 3 14 ，sin 22°＝3 3 14 解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速 度为每小时 x 海里，则 BC＝0.5x，AC＝5，依题意， ∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以 BC2＝49，所以 BC＝0.5x＝7，解得 x＝14. 又由正弦定理得 sin∠ABC＝AC·sin∠BAC BC ＝5× 3 2 7 ＝5 3 14 ，所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以 BC∥AD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船. 规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的 图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最 后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角. 【训练 3】 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析 依题意可得 AD＝20 10 m，AC＝30 5 m， 又 CD＝50 m， 所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2 2AC·AD ＝（30 5）2＋（20 10）2－502 2×30 5×20 10 ＝ 6 000 6 000 2 ＝ 2 2 ， 又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 答案 B 考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用 【例 3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝2π 3 ，半径为 4 2，若 点 C 是AB ︵上的一动点(不与点 A，B 重合). (1)若弦 BC＝4( 3－1)，求BC ︵的长； (2)求四边形 OACB 面积的最大值. 解 (1)在△OBC 中，BC＝4( 3－1)，OB＝OC＝4 2， 所以由余弦定理得 cos∠BOC＝OB2＋OC2－BC2 2OB·OC ＝ 3 2 ， 所以∠BOC＝π 6 ， 于是BC ︵的长为π 6 ×4 2＝2 2 3 π. (2)设∠AOC＝θ，θ∈ 0，2π 3 ，则∠BOC＝2π 3 －θ， S 四边形 OACB＝S△AOC＋S△BOC＝1 2 ×4 2×4 2sin θ＋1 2 ×4 2×4 2·sin 2π 3 －θ ＝24sin θ ＋8 3cos θ＝16 3sin θ＋π 6 ， 由于θ∈ 0，2π 3 ， 所以θ＋π 6 ∈ π 6 ，5π 6 ， 当θ＝π 3 时，四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3. 规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利 用正弦、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利 用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来. 【训练 4】 (2019·成都诊断)如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A＝π 2 ，B＝2π 3 ， AB＝6.在 AB 边上取点 E，使得 BE＝1，连接 EC，ED.若∠CED＝2π 3 ，EC＝ 7. (1)求 sin∠BCE 的值； (2)求 CD 的长. 解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知 BE sin∠BCE ＝ CE sin B ， 因为 B＝2π 3 ，BE＝1，CE＝ 7， 所以 sin∠BCE＝BE·sin B CE ＝ 3 2 7 ＝ 21 14 . (2)因为∠CED＝B＝2π 3 ，所以∠DEA＝∠BCE， 所以 cos∠DEA＝ 1－sin2∠DEA＝ 1－sin2∠BCE＝ 1－ 3 28 ＝5 7 14 . 因为 A＝π 2 ，所以△AED 为直角三角形，又 AE＝5， 所以 ED＝ AE cos∠DEA ＝ 5 5 7 14 ＝2 7. 在△CED 中， CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2× 7×2 7× －1 2 ＝49. 所以 CD＝7. [思维升华] 利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建 立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数 模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义. [易错防范] 在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含 条件. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A， C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D.2 km 解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB＝45°，∴ AC sin 60° ＝ 2 sin 45° ， ∴AC＝2 2× 3 2 ＝ 6(km). 答案 A 2.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了 三种测量方案：①测量 A，C，b；②测量 a，b，C；③测量 A，B，a.则一定能确 定 A，B 间的距离的所有方案的序号为( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 解析 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的 A，B 两点间的距离，对于②直接 利用余弦定理即可确定 A，B 两点间的距离. 答案 D 3.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( ) A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里 解析 如图所示，易知， 在 △ABC 中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， 解得 BC＝10 2(海里). 答案 A 4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在 200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的 俯角分别是 30°和 60°，则塔高为( ) A.400 3 m B.400 3 3 m C.200 3 3 m D.200 3 m 解析 如图所示. 在 Rt△ACD 中可得 CD＝200 3 3 ＝BE， 在△ABE 中，由正弦定理得 AB sin 30° ＝ BE sin 60° ， 则 AB＝200 3 ，所以 DE＝BC＝200－200 3 ＝400 3 (m). 答案 A 5.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此 时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( ) A.240( 3－1)m B.180( 2－1)m C.120( 3－1)m D.30( 3＋1)m 解析 如图， ∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m， 在 Rt△ACD 中，CD＝ AD tan∠ACD ＝ 60 tan 30° ＝60 3(m)， 在 Rt△ABD 中，BD＝ AD tan∠ABD ＝ 60 tan 75° ＝ 60 2＋ 3 ＝60(2－ 3)(m)， ∴BC＝CD－BD＝60 3－60(2－ 3)＝120( 3－1)(m). 答案 C 二、填空题 6.如图，在△ABC 中，B＝45°，D 是 BC 边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则 AB＝________. 解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C＝49＋9－25 2×7×3 ＝11 14 ， 则 sin C＝5 3 14 . 在△ABC 中，由正弦定理可得 AB sin C ＝ AC sin B ， 则 AB＝ACsin C sin B ＝ 7×5 3 14 2 2 ＝5 6 2 . 答案 5 6 2 7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB，C 是该小区的一个出 入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇 形的半径为________米. 解析 连接 OC，由题意知 CD＝150 米，OD＝100 米，∠CDO＝60°. 在△COD 中，由余弦定理得 OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即 OC＝50 7. 答案 50 7 8.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘 渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ 的值为________. 解析 在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800 ⇒ BC＝20 7. 由正弦定理，得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ⇒ sin∠ACB＝AB BC·sin∠BAC＝ 21 7 . 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝2 7 7 . 由θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝ 21 14 . 答案 21 14 三、解答题 9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度 为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s 后看 山顶的俯角为 45°，则山顶的高度为多少米？(取 2＝1.4， 3＝1.7) 解 如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°， 所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m). 又在△ABC 中， BC sin A ＝ AB sin∠ACB ， 所以 BC＝21 000 1 2 ×sin 15°＝10 500( 6－ 2). 因为 CD⊥AD，所以 CD＝BC·sin∠DBC ＝10 500( 6－ 2)× 2 2 ＝10 500( 3－1) ≈7 350(m). 故山顶的高度为 10 000－7 350＝2 650(m). 10.在△ABC 中，A＝3π 4 ，AB＝6，AC＝3 2，点 D 在 BC 边上，AD＝BD，求 AD 的长. 解 设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos3π 4 ＝18 ＋36－(－36)＝90， 所以 a＝3 10. 又由正弦定理，得 sin B＝bsin∠BAC a ＝ 3 3 10 ＝ 10 10 ， 由题设知 00). 又 BD＝ 7，∠DAB＝π 3 ，∴由余弦定理， 得( 7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcosπ 3 ， 解得 k＝1，∴AD＝2，AB＝3， sin∠ABD＝ADsin∠DAB BD ＝ 2× 3 2 7 ＝ 21 7 . (2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝ 21 7 ， ∴sin∠DBC＝2 7 7 ，∴ BD sin∠BCD ＝ CD sin∠DBC ， ∴CD＝ 7×2 7 7 3 2 ＝4 3 3 .