人教A版文科数学课时试题及解析（33）数列的综合应用B 4页

课时作业(三十三)B　[第33讲　数列的综合应用]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．一张报纸厚度为a，对折(沿一组对边的中点连线折叠)7次后，报纸的厚度为(　　)‎ A．‎8a B．‎‎64a C．‎128a D．‎‎256a ‎2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)(　　)‎ A．22 B．23‎ C．24 D．25‎ ‎3． 在数列{an}中，a1＝2，当n为正奇数时，an＋1＝an＋2，当n为正偶数时，an＋1＝2an，则a6＝(　　)‎ A．11 B．17‎ C．22 D．23‎ ‎4．夏季高山上的气温从山脚起每升高‎100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为________米．‎ ‎5．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎6． 已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2011＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎7． 设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93.若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　)‎ A．22 B．21‎ C．20 D．19‎ ‎8． 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为(　　)‎ A．‎1升 B.升 C.升 D.升 ‎9．已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1>1，a4>3，S3≤9，设bn＝，则使b1＋b2＋…＋bn<成立的最大n值为(　　)‎ A．97 B．‎98 C．99 D．100‎ ‎10．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．‎ ‎11． 已知数列{an}中，a201＝2，an＋an＋1＝0(n∈N＋)，则a2011＝________.‎ ‎12． 在数列{an}中，若a1＝2，且对任意的正整数p，q都有ap＋q＝apaq，则a8的值为________．‎ ‎13．已知an＝3n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：‎ a1‎ a‎2　‎a‎3　‎a4‎ a‎5　‎a‎6　‎a‎7　‎a‎8　‎a9‎ ‎………………‎ 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝________.‎ ‎14．(10分) 已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求数列{an}的通项an及Sn；‎ ‎(2)设数列{bn＋an}是首项为－2，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ ‎15．(13分)某市2011年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：‎ ‎(1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？‎ ‎(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(参考数据≈7.5)‎ ‎16．(12分) 设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.‎ 课时作业(三十三)B ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 报纸的厚度为‎27a＝‎128a.故选C.‎ ‎2．B　[解析] 依题意有(1－3%)n<0.5，所以n>≈22.8.故选B.‎ ‎3．C　[解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22，故选C.‎ ‎4．1700　[解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1700(米)．‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] 已知变形为－＝－1，设bn＝，则{bn}是等差数列，b1＝－1，bn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以an＝－.故选C.‎ ‎6．C　[解析] 由递推公式得a2＝－，a3＝，a4＝，a5＝－，…，所以数列{an}是周期数列，周期为3，于是a2011＝a2010＋1＝a1＝.故选C.‎ ‎7．C　[解析] 依题意即求Sn最大时的项数n.将两已知等式相减，可得公差d＝－2，所以‎3a1＋9d＝99，解得a1＝39，所以an＝39－2(n－1)＝41－2n.当an>0时，Sn取得最大值，所以41－2n>0，得n<20.5，所以k＝n＝20.故选C.‎ ‎8．B　[解析] 从上到下各节记为a1，a2，…，a9，公差为d，则有即解得 所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.故选B.‎ ‎9．B　[解析] 因为S3＝‎3a2≤9，即a2≤3，且a1>1，a4>3，首项及公差d为整数，所以可得a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1，所以bn＝＝－，b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以<成立的最大n值为98.故选B.‎ ‎10.－1　[解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x)10＝4，所以x＝－1.‎ ‎11．2　[解析] 由已知得an＋1＝－an，所以a202＝－2，a203＝2，a204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a2011＝2.‎ ‎12．256　[解析] 令p＝q＝1，则a2＝4，令p＝q＝2，则a4＝16，令p＝q＝4，则a8＝256.‎ ‎13．3112　[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以前10行数字个数的和为10×1＋×2＝100，故A(11,12)为{an}的第112项，所以A(11,12)＝a112＝3112.‎ ‎14．[解答] (1)因为数列{an}是首项a1＝2，公比q＝的等比数列，‎ 所以an＝2·n－1＝22－n，‎ Sn＝＝4.‎ ‎(2)依题意得：bn＋an＝－2＋2(n－1)＝2n－4，‎ 所以bn＝2n－4－an＝2n－4－22－n.‎ 设数列{bn＋an}的前n项和为Pn，‎ 则Pn＝＝n(n－3)，‎ 所以Tn＝Pn－Sn＝n(n－3)－4＝n2－3n－4＋22－n.‎ ‎15．[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，‎ 其中a1＝128，q＝1.5，‎ 则在2018年应该投入的电力型公交车为 a7＝a1q6＝128×1.56＝1458(辆)．‎ ‎(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ 依据题意，得>，即Sn>5000，‎ 于是Sn＝>5000，‎ 即1.5n>，则有n>≈7.5，因此n≥8.‎ 所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)由a1＝b>0，知an＝>0，‎ ＝＋·.‎ 令An＝，A1＝，‎ 当n≥2时，An＝＋An－1‎ ‎＝＋…＋＋A1‎ ‎＝＋…＋＋.‎ ‎①当b≠1时，An＝＝，‎ ‎②当b＝1时，An＝n.‎ ‎∴an＝ ‎(2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1).‎ ‎∵(bn＋1＋1)＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1‎ ‎＝bn ‎>bn(2＋2＋…＋2)‎ ‎＝2nbn，‎ ‎∴2an＝<1＋bn＋1.‎ 当b＝1时，2an＝2＝bn＋1＋1.‎ 综上所述2an≤bn＋1＋1.‎