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- 2021-06-25 发布
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必修二 圆与方程 习题课
一、选择题
1、已知曲线C:(x-1)2+y2=1,点A(-1,0)及点B(2,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C拦住,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(,+∞)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
2、方程=k(x-2)+3有两个不等实根,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3、直线l与直线3x+4y-15=0垂直,与圆x2+y2-18x+45=0相切,则直线l的方程是( )
A.4x-3y-6=0
B.4x-3y-66=0
C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0
D.4x-3y-15=0
4、若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,则直线x+ay+b=0一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5、直线x-y=0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心
C.相切 D.相离
6、以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=8
D.(x-1)2+(y-1)2=8
7、圆x2+y2+2x-4y=0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(1,-2),5 B.(1,-2),
C.(-1,2),5 D.(-1,2),
二、填空题
8、集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是________.
9、一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程为________.
10、过点M(0,4),且被圆(x-1)2+y2=4截得的线段长为2的直线方程为____________.
三、解答题
11、已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.
12、已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C总相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.
13、有一圆C与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的标准方程.
以下是答案
一、选择题
1、B
解析 视线即切线,切线与直线x=2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分,圆的切线方程为y=±(x+1).当x=2时,y=±,所以a∈(-∞,-)∪(,+∞),故选B.
2、A [
在同一平面直角坐标系中分别画出y=(就是x2+y2=4,y≥0)和y=k(x-2)+3的图象.如图所示,问题就转化为两条曲线有两个交点的问题,需kPA0.∴y=-x-不过第四象限.]
5、C [直线旋转后为y=x,圆心(2,0)到该直线距离d=r.∴选C.]
6、B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0),∴圆心为(1,1),半径r=,∴选B.]
7、D
二、填空题
8、3或7
解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系.
∵A∩B中有且仅有一个元素,
∴两圆x2+y2=4与(x-3)2+(y-4)2=r2相切,
O(0,0),C(3,4),|OC|=5,r1=2,r2=r,
故2+r=5,或r-2=5,∴r=3或7.
9、4
解析 点A关于x轴的对称点A′(-1,-1),转化为求A′(-1,-1)到圆上的点的距离的最小值问题,其最小值为-1=4.
10、x=0或15x+8y-32=0
解析 设直线方程为x=0或kx-y+4=0.当直线方程为x=0时,弦长为2符合题意;当直线方程为kx-y+4=0时,d===1,解得k=-,因此直线方程为15x+8y-32=0.
三、解答题
11、解 方法一 从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|==3,
从而|PA|==2.
∴(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=2.
方法二 利用等价转化的思想,设点P坐标为(x,y),则
|PC|=,由勾股定理及|AC|=1,得
|PA|==,从而S四边形PACB=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=|PA|=,从而欲求S四边形PACB的最小值,只需求|PA|的最小值,只需求|PC|2=(x-1)2+(y-1)2的最小值,即定点C(1,1)与直线上动点P(x,y)距离的平方的最小值,它也就是点C(1,1)到直线3x+4y+8=0的距离的平方,这个最小值d2=()2=9,
∴(S四边形PACB)min==2.
12、(1)证明 把直线l的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,
由方程组,解得,
所以直线l总过定点(3,1).
圆C的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25,所以圆C的圆心为(1,2),半径为5.
定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为=<5,即点(3,1)在圆内.所以过点(3,1)的直线总与圆相交,即不论m取什么实数,直线l与圆C总相交.
(2)解 设直线与圆交于A、B两点.当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时,l被截得的弦长|AB|最短.
因为|AB|=2
=2=2=4,此时kAB=-=2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4,此时直线l的方程为2x-y-5=0.
13、解 设所求圆的圆心为O,则OA⊥l,又设直线OA与圆的另一交点为P.所以直线OA的斜率为-.故直线OA的方程为y-6=-(x-3),即3x+4y-33=0.又因为kAB==-2,从而由平面几何知识可知kPB=,则直线PB的方程为x-2y-1=0.
解方程组得
即点P的坐标为(7,3).因为圆心为AP的中点,
半径为OA=,
故所求圆的标准方程为(x-5)2+2=.