【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何（文科）学案 21页

专题四 立体几何（文 ）‎ ‎【高考考场实情】‎ 空间立体几何在高考考查中一般占22分，其题型与题量一般是1个解答题，1 ~ 2 个选择或填空题．立体几何高考的选择或填空题有三个常考热点：一是空间几何体的三视图；二是空间几何体的表面积、体积；三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定．‎ ‎【考查重点难点】‎ 立体几何高考的解答题常以棱柱或棱锥为载体，解答题一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：一是定性分析，二是定量分析． 其中定性分析，不论文 还是理 主要是以平行、垂直的证明为主；而定量分析，文 试题主要考查表面积、体积的计算；理 试题主要考查线面角、二面角的计算．下面对 生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教 对策．‎ ‎【存在问题分析】‎ 问题一：识图、作图、用图能力弱．‎ ‎【指点迷津】作图、识图、用图能力是考生 好立体几何乃至解析几何所应具备的重要能力之一，何况全国卷的试题一般不提供图形！本专题中，识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原”，“球问题的直观呈现和转化”“作图问题”“展折问题的图形分析”等．‎ 例题1：（2009宁夏海南理11）一个棱锥的三视图如图（1），则该棱锥的全面积（单位：c）为（　　　　）‎ ‎（A）48+12 ‎ ‎（B）48+24 ‎ ‎（C）36+12 ‎ ‎（D）36+24‎ ‎【名师点睛】本题往往会因为对俯视图认识不足（直角三角形的实中线），而画错顶点在底面的射影(比如认为在底面的射影恰为顶点)，只有正确理解才能把三视图还原成如图2的几何体．可见，把三视图还原成几何体时首先要从总体入手判断几何体的形状（即要有较强的模型意识，能总体构造！），比如本题由于三个视图都是三角形，故可判断为该几何体为三棱锥；其次注意细节，尤其关注顶点在底面上的射影，如本题的俯视图意味着顶点在底面的射影为中点（一般地，三棱锥中顶点在底面的射影若不在边上，如若在顶点，则俯视图如图（3），如若在三角形内，则俯视图如图（4））． 8 ‎ 例题2：（2012年课标全国卷理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】由球的定义可知，球心为的中点．如图5，设的中心为，则有 平面，且，所以三棱锥的高，所以此棱锥的体积为 ‎．‎ ‎【名师点睛】本题往往会因为对直径认识不足（球心为的中点），纠结如何做图（球内接三棱锥），而不懂对问题进行转化（），只有正确理解才能把问题转化为三棱锥（如图5），再结合球的定义，即可解决．‎ 例题3：（2016全国Ⅰ卷理11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【名师点睛】本题往往会因作图不过关而对过顶点作平面束手无策，只有正确理解才能通过“补上一个全等的正方体”快速实现把平面“外移” （此时 ‎）．可见，观察和做出平行线是本题作图的关键．当然，如何作平行线，这是作图的基本功，教师要讲明原理（常利用中位线或平行四边形的性质作平行线），同时，要引导 生观察几何体（尤其是长方体中的一些常见的平行关系（如本题）的和垂直关系），这样， 生的作图就会更有方向感！‎ 例题4：如图7，四边形中，，，．将四边形沿对角线折成四面体，使平面，则下列结论正确的是(　　)．‎ ‎ (A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) 与平面所成的角为 ‎(D) 四面体的体积为 ‎【名师点睛】本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够，而忽视重要的垂直关系“，”， 只有正确理解才能顺利由平面得出面，再结合，得到面，从而解决问题．‎ 无论是图形的翻折或是展开，都是平面图形与空间图形的相互转化，从抽象到直观，直观到抽象的过程，其中翻折 ——— 平面图形立体化，展开 ———‎ ‎ 立体图形平面化．解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量”，建议在展折前的图形中进行标注重要的点（尤其前后坐标的不同），或是重要的量（如垂直关系，如图9），这样比较不会遗忘或忽略．‎ 问题二： 推理的逻辑欠清晰．‎ ‎【指点迷津】以全国卷理 卷为例，其解答题一般稳定居于前三的位置，常设置两问，一问主要涉及定性证明（如垂直关系、平行关系），二问立足定量求解（如三种角度的度量）．在定性分析时由于定理条件不清楚，推理的逻辑欠清晰，常造成“会而不全”，导致失分．‎ 例题5： 在如图1所示的多面体中，四边形是正方形，平面，，，是的中点． : ]‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面．‎ ‎（Ⅱ）因为，底面，‎ 所以底面，平面,所以，‎ 由（Ⅰ）知所以， ‎ 因为，且所以，‎ 又，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎【名师点睛】（Ⅰ）要证线面平行，一般可考虑线线平行或面面平行，本题可优先考虑线线平行．本题虽思路较为直接，但常常会“想当然”，如易借助几何直观可知忽视“是平行四边形”的证明过程；此外更常忽略条件“平面,平面”的完整表达而造成不必要的失分！‎ ‎（Ⅱ）要证面面垂直，关键在于找出一组“线面垂直”，如图11，能较为直观看到“平面”就是目标．证明过程中常因几何直观强，忽视平行关系与垂直关系之间的转化，直接“想当然”“易得，”造成失分，同时条件“平面”也是 生证明面面垂直最容易失分的地方．‎ ‎【解决问题对策】‎ ‎1．理清判定定理和性质定理的条件与结论，关注证明的严密性．‎ ‎【指点迷津】线与线、线与面、面与面之间的关系错综复杂，平行关系、垂直关系或平行关系与垂直关系之间都可进行转化，其证明也是考试的高频点．证明时，不仅要思考它们之间的转化，而且要理清判定定理和性质定理的条件与结论（特别是一些较常遗漏疏忽的条件，如判定时易忽视；判定“线面垂直”易忽视“两相交直线”；判定“面面平行”，易直接“线线平行”），避免“会而不全”导致失分．‎ 例题6：如图16，已知所在的平面，分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ 又∵平面,平面,∴平面． ‎ 方法二：如图18，取的中点,连接,‎ ‎∵为中点, ∴为的中位线,∴,‎ ‎ 又平面,平面,∴平面．‎ ‎ 同理可证平面,,平面，‎ ‎ 所以平面平面,平面,∴平面．‎ ‎（Ⅱ）证明:∵平面 ，平面， 平面 ‎∴ ， ，‎ ‎∵， ，∴平面 如图17，∵平面 ∴，∵ ，为中点，‎ ‎∴，又∵ ∴平面．‎ ‎∵ ∴平面,又∵平面，∴平面平面． 7 ‎ ‎2．总结位置关系的主要证明方法与适用范围．‎ ‎【指点迷津】培养 生模型化的意识是总结位置关系的一个行之有效的方法．其中正方体或长方体就是一个很好的载体（教室是一个非常有用的长方体模型），关键在于引导 生“观察、思考”。‎ 例题8：（2016年全国Ⅱ卷理14）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．‎ ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．‎ ③如果α∥β，mα，那么m∥β． ‎ ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）‎ ‎【解析】对于①，如图19，可知可能出现，故①错误，不难验证②③④都正确．‎ ‎3．关注识图、作图、用图能力的培养．‎ ‎【指点迷津】识图、作图、用图能力的培养非一朝一夕就可实现！教师要“舍得”花较多的时间“手把手”教 生“怎么画”；要“讲明作图的原理”避免 生虽“看得懂”教师的“画”，但“书到用时方觉少，事非经过不知难！”；要“善于借助模型和道具”引导 生观察；要“培养模型意识、动手能力”引导 生巧借“教室”或“道具比划”简化、解决问题．‎ 例题10：（2016年全国卷Ⅰ理12）如图20， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C)6 (D)4‎ ‎4．关注多面体、旋转体的结构与性质．‎ ‎【指点迷津】复习时，不仅要关注常见多面体（特别是三棱锥、四棱锥、三棱柱）、旋转体的结构与性质及其体积、表面积公式 ，同时要关注其不同位置形式的解读（如横放的三棱柱）．球在全国卷也是屡见不鲜，其中球的定义、截面圆性质、球与其他几何体的接切应重点关注．‎ 例题10：正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ ‎（A） （B）16π （C）9π （D） ‎5．强化空间角与距离的合理求解．‎ ‎【指点迷津】空间角的求解和距离的求解是定量分析的重要部分．对于文 而言，空间角的求解主要在于定义的应用，如通过“平行”关系研究“异面直线所成的角”，通过构造垂直关系求解“线面角、二面角的平面角”；距离则往往与体积转化有关．对于理 而言，关键在于区别“向量的夹角”，特别是“线面所成的角”与“直线与平面法向量的夹角（指锐角）”之间的互余关系是考生的易错点之一．对于一些较为复杂的条件，合理选择“基本量”可大大简化计算。‎ 例题11：（2017年全国卷Ⅰ文18）如图23，在四棱锥中，，且．‎ ‎(Ⅰ)证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若, ,且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知，得 由于，故，,‎ 从而平面,又平面，所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）文：如图24，在平面内作，垂足为 由(Ⅰ)知，平面，故，,可得平面．‎ 设，（为基本量），则由已知可得,‎ 故四棱锥的体积，‎ 由题设得，故,从而,‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎【新题好题训练】‎ ‎1．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积．‎ ‎3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为；‎ 由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为.‎ ‎∴‎ 故选D.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7 ‎ ‎4．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2，已知分别为上，下底面的中心，为的中点，过 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图:‎ ‎5．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. [ : ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故选C.‎ ‎6．如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角的正切值为，，，求异面直线与所成角的余弦值.[ : xx ]‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵侧面为平行四边形，∴为的中点，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则.‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）解：过作于，连接，‎ 则即为二面角的平面角.‎ ‎∵，，∴.‎ 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，‎ 则，，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎7．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，点是的中点，棱与平面交于点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若是正三角形，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）因为底面是边长为2的正方形，所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ 又因为四点共面，且平面平面，‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）因为，点是的中点，‎ 所以点为的中点，.‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，所以平面.‎ 又因为是正三角形，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎8．如下图,四梭锥中,⊥底面,‎ ‎ ,为线段上一点，,为的中点.‎ ‎(I)证明:平面；‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见解析.（Ⅱ） .‎ ‎【解析】分析：(I) 取的中点,连接，证明,再证明平面. (Ⅱ) 取的中点,连结, 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.‎ 详解： (Ⅰ)由己知得,‎ ‎（Ⅱ）取的中点,连结,由得,从而,‎ 且 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意知，,‎ ‎.‎ 设 为平面的法向量，[ : ]‎ 则，即，可取 故直线 与平面所成角的正弦值为 点睛：求直线与平面所成角一般有两种方法，一是几何法，找作证指求.二是向量法，利用空间向量求.本题由于有⊥底面,所以方便建立空间直角坐标系，所以用向量法比较合适. . .. ‎ ‎9．如图，三棱柱中，，平面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）证明：∵平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴平面.‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解法一：取的中点，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又平面平面，且交线为，‎ 则平面.‎ ‎∵平面,∴，‎ ‎∴四边形为菱形，∴.‎ 又，∴是边长为正三角形，∴.‎ ‎∴.[ : | | |X|X| ]‎ 设点到平面的距离为.‎ 则.‎ 又，∴.‎ 所以点到平面的距离为.‎ 解法二：利用平面转化为求点到平面的距离，即.‎ ‎10．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，在棱上，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 解析：（1）取的中点，连接，.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面，∴.‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，∴.‎ 又∵是的中点，‎ ‎∴.‎ 在中，，‎ ‎∴.‎ ‎∴ ，‎ 即三棱锥的体积为. · 1 ‎