2021高考数学一轮复习课后限时集训63古典概型文北师大版2 6页

课后限时集训63‎ 古典概型 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)‎ A．0.6　　　B．0.5　　　C．0.4　　　D．0.3‎ D　[将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.]‎ ‎2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]‎ ‎3．(2019·沈阳模拟)某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成，并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[满足题意的字母组合有四种，分别是eka，eak，ake，aek.拼写正确的组合只有一种eak，所以所求概率P＝.]‎ ‎4．甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是(　　)‎ A. B. ‎ - 6 -‎ C. D. B　[由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是＝.]‎ ‎5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．‎ 　[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.]‎ ‎7．(2019·成都模拟)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．‎ ‎0.3　[依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋12＋11)－(5＋3＋10＋x＋15)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.]‎ ‎8．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e＞的概率是________．‎ 　[同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a＞b时，e＝＞‎ - 6 -‎ eq f( (3),2)⇒＜⇒a＞2b，符合a＞2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6,4种情况；‎ 当b＝2时，有a＝5,6,2种情况，故共有6种情况，则概率是＝.同理当a＜b时，e＞的概率也为.‎ 综上可知，离心率e＞的概率为.]‎ 三、解答题 ‎9．现有7名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎(1)求A1被选中的概率；‎ ‎(2)求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎[解](1)从7人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有基本事件数为3×2×2＝12.‎ 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则它包含的基本事件有1×2×2＝4.‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“B1，C1全被选中”，由于包含的基本事件有：(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件有3个基本事件组成，‎ 所以P()＝＝，‎ 由对立事件的概率公式得P(N)＝1－＝.‎ ‎10．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．‎ ‎(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；‎ ‎(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．‎ ‎[解](1)设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝‎ - 6 -‎ ＝.‎ ‎(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为：a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．‎ 其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个．‎ 则P(B)＝.‎ 故这2人获得相等优惠金额的概率为.‎ ‎1．(2019·济南模拟)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票．小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. D　[从小王、小张、小刘、小李中随机选择两位，所有可能的结果为(小王，小张)，(小王，小刘)，(小王，小李)，(小张，小刘)，(小张，小李)，(小刘，小李)共6种，其中小王和小李都被选中的可能结果只有一种，因此所求概率为P＝1－＝.故选D.]‎ ‎2．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[所有基本事件有(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(3,3,3)，共10个，其中丙获得“手气王”的基本事件有(2,2,5)，(2,3,4)，(3,2,4)，(3,3,3)，共4个，故所求概率为P＝＝.]‎ ‎3．曲线C的方程为＋＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，记事件A为“‎ - 6 -‎ 方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.‎ 　[有序数对(m，n)所有可能的结果共有6×6＝36种．‎ 由题意知m2＞n2，即m＞n，则当m＝2时，n＝1，当m＝3时，n＝1,2，当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝5时，n＝1,2,3,4，当m＝6时，n＝1,2,3,4,5.‎ 因此共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果满足m＞n.‎ 所以所求概率P(A)＝＝.]‎ ‎4．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎[解](1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎(2)不正确．理由如下：‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝＞，故这种说法不正确．‎ ‎1．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．‎ 　[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件为，，，共3个，故所求概率P＝.]‎ ‎2．中国共产党第十九次全国代表大会(简称十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开．“十九大”报告指出：“必须把教育事业放在优先位置，加快教育现代化，办好人民满意的教育”．要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育，办好学前教育、特殊教育和网络教育”．某乡镇属于学前教育的学校有3所，属于特殊教育的学校有1所，属于网络教育的学校有2所．目前每所学校只需招聘1名师范毕业生，现有2名师范毕业生参加应聘，每人只能参加一个学校的应聘且选择学校不能相同．‎ - 6 -‎ ‎(1)求他们选择的学校所属教育类别相同的概率；‎ ‎(2)记ξ为2人中选择的学校属于学前教育或网络教育的人数，求ξ≤1的概率．‎ ‎[解](1)记某乡镇属于学前教育的3所学校分别为A1，A2，A3，属于特殊教育的1所学校为B，属于网络教育的2所学校分别为C1，C2,2名师范毕业生从6所学校中任选1所学校有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，B)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，B)，(A3，C1)，(A3，C2)，(B，C1)，(B，C2)，(C1，C2)，(A2，A1)，(A3，A1)，(B，A1)，(C1，A1)，(C2，A1)，(A3，A2)，(B，A2)，(C1，A2)，(C2，A2)，(B，A3)，(C1，A3)，(C2，A3)，(C1，B)，(C2，B)，(C2，C1)，共30种，‎ 他们选择的学校所属类别相同的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A2，A1)，(A3，A1)，(A3，A2)，(C1，C2)，(C2，C1)，共8种，故他们选择的学校所属类别相同的概率P＝＝.‎ ‎(2)由题意可知ξ＝0或ξ＝1或ξ＝2.‎ 当ξ＝0时，即2人中选择的学校都属于特殊教育，而特殊教育的学校只有1所，故ξ＝0是一个不可能事件，P(ξ＝0)＝0；‎ 当ξ＝1时，即2人中只有1人选择的学校属于学前教育或网络教育，则必有1人选择特殊教育的1所学校．所有可能的情况有(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(B，C1)，(B，C2)，(B，A1)，(B，A2)，(B，A3)，(C1，B)，(C2，B)，共10种，∴P(ξ＝1)＝＝，‎ ‎∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.‎ - 6 -‎