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  • 2021-06-25 发布

高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时训练 新人教版选修2-2

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【名师一号】2014-2015 学年高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时 训练 新人教版选修 2-2 1.当自变量 x 由 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x1 处的导数 C.在区间[x0,x1]上的导数 D.在 x 处的平均变化率 解析 由平均变化率的定义知选 A. 答案 A 2.对于函数 f(x)=c(c 为常数),则 f′(x)为( ) A.0 B.1 C.c D.不存在 解析 f′(x)=lim Δx→0 f x+Δx -f x Δx =lim Δx→0 c-c Δx =0. 答案 A 3.y=x2 在 x=1 处的导数为( ) A.2x B.2 C.2+Δx D.1 解析 ∵Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2, ∴Δy Δx =2+Δx.∴f′(1)=lim Δx→0 (2+Δx)=2. 答案 B 4.在导数的定义中,自变量的增量Δx 满足( ) A.Δx<0 B.Δx>0 C.Δx=0 D.Δx≠0 解析 Δx 可正、可负,就是不能为 0,因此选 D. 答案 D 5.一物体运动满足曲线方程 s=4t2+2t-3,且 s′(5)=42(m/s),其实际意义是( ) A.物体 5 秒内共走过 42 米 B.物体每 5 秒钟运动 42 米 C.物体从开始运动到第 5 秒运动的平均速度是 42 米/秒 D.物体以 t=5 秒时的瞬时速度运动的话,每经过一秒,物体运动的路程为 42 米 解析 由导数的物理意义知,s′(5)=42(m/s)表示物体在 t=5 秒时的瞬时速度.故选 D. 答案 D 6.如果质点 A 按规律 s=3t2 运动,那么在 t=3 时的瞬时速度为________. 解析 ∵Δy=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2, ∴s′(3)=lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 (18+3Δt)=18. 答案 18 7.设函数 f(x)满足lim x→0 f 1 -f 1-x x =-1,则 f′(1)=________. 解析 ∵lim x→0 f 1 -f 1-x x =lim x→0 f 1-x -f 1 -x =f′(1)=-1. 答案 -1 8.函数 f(x)=x2+1 在 x=1 处可导,在求 f′(1)的过程中,设自变量的增量为Δx, 则函数的增量Δy=________. 解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-(12+1) =2Δx+(Δx)2. 答案 2Δx+(Δx)2 9.已知 f(x)=ax2+2,若 f′(1)=4,求 a 的值. 解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+2-(a×12+2) =2a·Δx+a(Δx)2, ∴f′(1)=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 (2a+a·Δx)=2a=4. ∴a=2. 10.已知函数 f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,求 x0 的值. 解 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[1 3-8(x0+Δx)+ 2(x0+Δx)2]-(13-8x0+ 2x2 0)= -8Δx+2 2x0Δx+ 2(Δx)2. f′(x0)=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 (-8+2 2x0+ 2Δx)=-8+2 2x0, 又∵f′(x0)=4,∴-8+2 2x0=4,∴x0=3 2. 11.在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间 t 存在关系 s(t)=10t+5t2(s 的单位 是 m,t 的单位是 s). (1)求 t=20,Δt=0.1 时的Δs 与Δs Δt ; (2)求 t=20 时的速度. 解 (1)当 t=20,Δt=0.1 时, Δs=s(20+Δt)-s(20) =10(20+0.1)+5(20+0.1)2-(10×20+5×202) =1+20+5×0.01=21.05. ∴Δs Δt =21.05 0.1 =210.5. (2)由导数的定义知,t=20 时的速度即为 v=lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 10 t+Δt +5 t+Δt 2-10t-5t2 Δt =lim Δt→0 5 Δt 2+10Δt+10tΔt Δt =lim Δt→0 (5Δt+10+10t) =10+10t =10+10×20 =210(m/s). 12.若一物体运动方程如下(位移:m,时间:s). s= 3t2+2,t≥3, 29+3 t-3 2,0≤t<3. 求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在t=1 时的瞬时速度. 解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在 t∈[3,5]内的位移 变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt =48 2 =24(m/s). (2)求物体的初速度为 v0,即求物体在 t=0 时瞬时速度. ∵ 物 体 在 t = 0 附 近 的 平 均 速 度 为 Δs Δt = f 0+Δt -f 0 Δt = 29+3 0+Δt-3 2-29-3 0-3 2 Δt =3Δt-18, ∴物体在 t=0 处的瞬时速度为lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 (3Δt-18)=-18(m/s). 即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均速度变化为 Δs Δt =29+3 1+Δt-3 2-29-3 1-3 2 Δt =3Δt-12, ∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 (3Δt-12)=-12(m/s). 即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.

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