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- 2021-06-25 发布
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【名师一号】2014-2015 学年高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时
训练 新人教版选修 2-2
1.当自变量 x 由 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在 x1 处的导数
C.在区间[x0,x1]上的导数
D.在 x 处的平均变化率
解析 由平均变化率的定义知选 A.
答案 A
2.对于函数 f(x)=c(c 为常数),则 f′(x)为( )
A.0 B.1
C.c D.不存在
解析 f′(x)=lim
Δx→0
f x+Δx -f x
Δx
=lim
Δx→0
c-c
Δx
=0.
答案 A
3.y=x2 在 x=1 处的导数为( )
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
解析 ∵Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2,
∴Δy
Δx
=2+Δx.∴f′(1)=lim
Δx→0
(2+Δx)=2.
答案 B
4.在导数的定义中,自变量的增量Δx 满足( )
A.Δx<0 B.Δx>0
C.Δx=0 D.Δx≠0
解析 Δx 可正、可负,就是不能为 0,因此选 D.
答案 D
5.一物体运动满足曲线方程 s=4t2+2t-3,且 s′(5)=42(m/s),其实际意义是( )
A.物体 5 秒内共走过 42 米
B.物体每 5 秒钟运动 42 米
C.物体从开始运动到第 5 秒运动的平均速度是 42 米/秒
D.物体以 t=5 秒时的瞬时速度运动的话,每经过一秒,物体运动的路程为 42 米
解析 由导数的物理意义知,s′(5)=42(m/s)表示物体在 t=5 秒时的瞬时速度.故选
D.
答案 D
6.如果质点 A 按规律 s=3t2 运动,那么在 t=3 时的瞬时速度为________.
解析 ∵Δy=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2,
∴s′(3)=lim
Δt→0
Δs
Δt
=lim
Δt→0
(18+3Δt)=18.
答案 18
7.设函数 f(x)满足lim
x→0
f 1 -f 1-x
x
=-1,则 f′(1)=________.
解析 ∵lim
x→0
f 1 -f 1-x
x
=lim
x→0
f 1-x -f 1
-x
=f′(1)=-1.
答案 -1
8.函数 f(x)=x2+1 在 x=1 处可导,在求 f′(1)的过程中,设自变量的增量为Δx,
则函数的增量Δy=________.
解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-(12+1)
=2Δx+(Δx)2.
答案 2Δx+(Δx)2
9.已知 f(x)=ax2+2,若 f′(1)=4,求 a 的值.
解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+2-(a×12+2)
=2a·Δx+a(Δx)2,
∴f′(1)=lim
Δx→0
Δy
Δx
=lim
Δx→0
(2a+a·Δx)=2a=4.
∴a=2.
10.已知函数 f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,求 x0 的值.
解 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[1 3-8(x0+Δx)+ 2(x0+Δx)2]-(13-8x0+ 2x2
0)=
-8Δx+2 2x0Δx+ 2(Δx)2.
f′(x0)=lim
Δx→0
Δy
Δx
=lim
Δx→0
(-8+2 2x0+ 2Δx)=-8+2 2x0,
又∵f′(x0)=4,∴-8+2 2x0=4,∴x0=3 2.
11.在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间 t 存在关系 s(t)=10t+5t2(s 的单位
是 m,t 的单位是 s).
(1)求 t=20,Δt=0.1 时的Δs 与Δs
Δt
;
(2)求 t=20 时的速度.
解 (1)当 t=20,Δt=0.1 时,
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05.
∴Δs
Δt
=21.05
0.1
=210.5.
(2)由导数的定义知,t=20 时的速度即为
v=lim
Δt→0
Δs
Δt
=lim
Δt→0
10 t+Δt +5 t+Δt 2-10t-5t2
Δt
=lim
Δt→0
5 Δt 2+10Δt+10tΔt
Δt
=lim
Δt→0
(5Δt+10+10t)
=10+10t
=10+10×20
=210(m/s).
12.若一物体运动方程如下(位移:m,时间:s).
s=
3t2+2,t≥3,
29+3 t-3 2,0≤t<3.
求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度 v0;
(3)物体在t=1 时的瞬时速度.
解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在 t∈[3,5]内的位移
变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为Δs
Δt
=48
2
=24(m/s).
(2)求物体的初速度为 v0,即求物体在 t=0 时瞬时速度.
∵ 物 体 在 t = 0 附 近 的 平 均 速 度 为 Δs
Δt
= f 0+Δt -f 0
Δt
=
29+3 0+Δt-3 2-29-3 0-3 2
Δt
=3Δt-18,
∴物体在 t=0 处的瞬时速度为lim
Δt→0
Δs
Δt
=lim
Δt→0
(3Δt-18)=-18(m/s).
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率.
∵物体在 t=1 附近的平均速度变化为
Δs
Δt
=29+3 1+Δt-3 2-29-3 1-3 2
Δt
=3Δt-12,
∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为lim
Δt→0
Δs
Δt
=lim
Δt→0
(3Δt-12)=-12(m/s).
即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.