山东省威海市文登区2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 18页

高一数学 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟.满分150分.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ 每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列选项中与终边相同的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据终边相同的两个角的差是的整数倍这一性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】A：，因为，所以与终边不相同，故不符合题意；‎ B：因为，所以与终边不相同，故不符合题意；‎ C：因为，所以与终边相同，故符合题意；‎ D：因为，所以与终边不相同，故不符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了终边相同角的判断，考查了数学运算能力.‎ ‎2.已知向量，，若向量，则（ ）‎ A. B. ‎6 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.‎ ‎【详解】因，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查平面向量垂直的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A. 终边相同的角一定相等 B. 是第二象限角 C. 若角，的终边关于轴对称，则 D. 若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A：通过举特例进行判断即可；‎ B：把角化为内终边相同的角，进行判断即可；‎ C：通过举特例进行判断即可；‎ D：根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行判断即可.‎ ‎【详解】A：两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；‎ B：，而，所以是第三象限角，故本说法错误；‎ C：当时，两个角的终边关于轴对称，而，故本说法错误；‎ D：设扇形的弧长为，因为扇形的面积为，半径为2，所以有，因此扇形的圆心角为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，考查了终边相同角的性质，考查了角的位置，考查了已知两个角终边的对称性求两角的关系问题，属于基础题.‎ ‎4.如图所示，为正交基底，则向量（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直角坐标系，求出的坐标表示，利用平面向量的线性运算坐标表示公式进行求解即可.‎ 详解】根据直角坐标系可知；，所以有 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示公式，考查了数学运算能力.‎ ‎5.设角是第二象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据角是第二象限角，，求出角的范围，最后利用同角的三角函数关系式进行求解即可.‎ ‎【详解】因为角是第二象限角，所以有 ‎,因此 在第一象限或第三象限，而，所以在第三象限内，因此有：‎ ‎，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了已知角的终边位置求它的半角的终边位置，考查了正弦值、余弦值的正负性的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎6.若函数在上是增函数，则实数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦型函数的单调性，结合已知、数轴进行求解即可.‎ ‎【详解】当时，即时，函数 单调递增，已知函数在上是增函数，所以有：，‎ 当时，不等式组的解集为空集；‎ 当时，；‎ 当时，不等式组的解集为空集，综上所述：实数的最大值.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力，考查了集合的应用.‎ ‎7.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦型函数图象的平移变换的性质求出平移后的函数的解析式，再根据偶函数的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】函数图象沿轴向左平移个单位后，得到函数 ‎，而函数是偶函数，因此有 ‎.‎ 对于选项A：，不符合题意；‎ 对于选项B：，符合题意；‎ 对于选项C：，不符合题意；‎ 对于选项D：，不符合题意.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了已知函数是偶函数求参数问题，考查了正弦型函数图象平移变换的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎8.已知角是第三象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数关系式中的商关系，结合，可以求出的值，最后根据同角的三角函数关系式和二次根式的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 两边平方得；，解得或，因为角是第三象限角，‎ 所以有，因此，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎9.在中，为边的中点，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为一组基底，对根据平面向量的加法的几何意义进行变形，结合为边的中点进行求解即可.‎ ‎【详解】因为为边的中点，所以有.‎ 由，因此有.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，考查了平面向量基本定理，考查了数学运算能力.‎ ‎10.已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①的最小正周期为 ②在内单调递减　　 ‎ ‎③是的一条对称轴 ④是的一个对称中心 A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象经过的特殊点，可以求出相应的参数，最后根据正弦型函数的性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，因此.由函数的图象可知：‎ ‎，‎ 因为，所以，又因为，所以，‎ 因此.‎ ‎①：函数的最小正周期为：，故本说法是错误的；‎ ‎②：当时，本说法是正确的；‎ ‎③：当时，，故本说法是错误的；‎ ‎④：当时，，故本说法是正确的.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了由正弦型函数的图象求参数并判断相关性质的正确性，考查了数学运算能力.‎ ‎11.在中，，，设点满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的加法的几何意义可以确定点，根据和直角三角形的性质可以判断出三角形的形状，最后利用锐角三角函数定义和平面向量数量符号的几何意义进行求解即可.‎ ‎【详解】因为点满足，所以点是斜边的中点，故，而，因此三角形是等边三角形，故，又因为，所以，由，所以可得：，向量在方向上的投影为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了平面向量的几何意义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎12.若不等式在恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据化简不等式，然后常变量分离，最后利用正切函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 所以，‎ 于是有，因为，所以，要想 在时恒成立，一定有.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查已知三角不等式恒成立求参数取值范围，考查了正切函数的单调性，考查了数学运算能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.在试题卷上答题无效.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知向量，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 又因为，所以有.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示公式，考查了平面向量线性运算的坐标表示公式，考查了数学运算能力.‎ ‎15.已知，则______.‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角的三角函数关系式进行求解即可.‎ ‎【详解】，化简整理得：，解得或，‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 故答案为：或0‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎16.已知向量，满足，且.若向量满足，则的取值范围______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意利用直角坐标系求出平面向量，的坐标表示，再根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标公式，利用圆的定义及性质进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，，所以在平面直角坐标系中，设，，，‎ 所以，由，因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离为，由圆的性质可知：的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示公式，考查了圆的性质的应用，考查了平面向量模的最值问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，设，，为平面内一点，且.‎ ‎（Ⅰ）用向量，表示；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可；‎ ‎（Ⅱ）根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质和定义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了平面向量基本定理的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎18.计算：‎ ‎（Ⅰ）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，是角终边上两点，，求；‎ ‎（Ⅱ）已知，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据三角函数的定义，结合已知进行求解即可；‎ ‎（Ⅱ）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由三角函数定义可知，，，‎ 化简得，所以.‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以，‎ 由，解得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数定义，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求中点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设，若，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可；‎ ‎（Ⅱ）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量共线和线性运算的坐标表示公式、平面向量垂直的性质、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设，则，‎ 解得，，所以点的坐标为.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 由，可得，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的加法减法的几何意义，考查了平面向量的线性运算的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.‎ ‎20.某同学用“点法”作函数在一个周期内的图象时，列出下表并填入了部分数据：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）将表格数据补充完整，并求出的表达式及单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的最值及对应的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析，.单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）时，最小值为；时，函数取得最大值为3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据“五点法”的方法进行填表，根据正弦型函数的性质，结合表格的数据进行求解即可；‎ ‎（Ⅱ）利用换元法进行求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎0‎ 根据图表可知，的周期为，所以， ‎ 将点代入，解得.‎ 所以 由，解得， ‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）设，由，，‎ 由正弦函数的性质可知 当，即时，函数取得最小值为；‎ 当，即时，函数取得最大值为3.‎ ‎【点睛】本题考查了“五点法”的应用，考查了正弦型函数的周期性、单调性和最值，考查了数学运算能力.‎ ‎21.在平面直角坐标系中，已知点，.‎ ‎（Ⅰ）若，，求；‎ ‎（Ⅱ）当时，的最大值为5，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用同角的三角函数的关系，结合诱导公式、特殊角的三角函数值、平面向量夹角公式进行求解即可；‎ ‎（Ⅱ）根据，结合平面向量数量积的运算性质、正弦函数的最值分类讨论进行求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎，所以，，‎ 所以，‎ 因为,所以.‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为，所以，‎ 当时，在时取得最大值，‎ 即，解得或（舍）；‎ 当时，在时取得最大值，‎ 即，解得或（舍）；‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了诱导公式的应用，考查了平面向量夹角公式，考查了已知平面向量的模求参数的值，考查了数学运算能力.‎ ‎22.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期公式求出，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出的解析式；‎ ‎（Ⅱ）根据函数的解析式，原不等式等价于在恒成立，利用换元法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）点的纵坐标为，为等边三角形，所以三角形边长为2，‎ 所以，解得，所以，‎ 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，‎ 再向右平移个单位，得到.‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以，‎ 原不等式等价于在恒成立.‎ 令，，即在上恒成立.‎ 设，对称轴，‎ 当时，即时，，解得，所以；‎ 当时，即时，，解得（舍）；‎ 当时，即时，，解得.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.‎