2019届合肥新高三7月调研性数学检测理科数学(解析版) 9页

合肥市 2019 届高三调研性检测数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 { | 1 2}M x x    ， { |1 3}≤ ≤N x x ，则M N  （ ） A． ( 1,3] B．( 1,2] C．[1,2) D．(2,3] 1．答案：C 解析： [1,2)M N  2．已知复数 1 2i 2 iz   (i 为虚数单位)，则 z  （ ） A．1 5 B．3 5 C． 4 5 D．1 2．答案：D 解析： 1 2i1 2i 5 12 i 2 i 5 z      ．公式： 11 1 2 1 2 2 2 , zzz z z z z z    3．右图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2 和3.若从右图内随机取一 点，则该点取自阴影区域的概率为（ ） A． 2 3 B．8 9 C．12 13 D． 24 25 3．答案：C 解析：因为四个直角三角形全等，两条直角边的长分别为2 和3， 所以斜边长为 13 ，所以围成的大正方形的面积为13，而每个 直角三角形的面积为1 2 3 32    ，所以阴影区域的面积为12， 所以从图中随机取一点，该点取自阴影区域的概率为12 13 ． 4．已知实数x y， 满足条件 0 0 2 2 0 ≤ ≥ ≤ x y x y x y       ，则 2z x y  的取值范围是（ ） A． 26, 3     B． 20, 3      C．[ 6, )  D．[0, ) 4．答案：A 解析：作可行域为如图所示的 OAB△ ，其中 2 2,3 3A     ， ( 2, 2)B  ，则 20, , 63O A Cz z z    ， 所以 2z x y  的取值范围是 26 3     ， ． 5．已知直线 : 5 0l x y   与圆 2 2 2: ( 2) ( 1) ( 0)C x y r r     相交所得的弦长为2 2 ，则圆C 的半径r  O x y A B （ ） A． 2 B．2 C．2 2 D．4 5．答案：B 解析：圆C 的圆心为(2,1) ，圆心到直线的距离 2 1 5 2 1 1 d     ，又弦长为2 2 ，所以 2 22 2 2r d  ， 所以 2r  ． 6．执行右面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是（ ） A． 4?i  B． 5?i  C． 6?i  D． 7?i  6．答案：C 解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算 ( 1)1 2 3 2 i iS i       的值，又 15S  ， 所以 5i  ，当 1 6i   时退出循环，结合选项 可知，应填 6?i  7．已知tan 3  ，则sin cos2 2               的值为（ ） A． 3 10 B． 3 10 C．3 5 D． 3 5 7．答案：B 解析： 2 2 2 cos sin tan 3sin cos cos sin2 2 cos sin 1 tan 10                                 ． 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1 ( 0 0)x yM a ba b   ， 的焦距为4，两条渐近线的夹角为60 ，则双曲线M 的标准方程 是（ ） A． 2 2 13 x y  B． 2 2 13 x y  或 2 2 13 yx   C． 2 2 112 4 x y  D． 2 2 112 4 x y  或 2 2 14 12 x y  8．答案：B 解析：依题意， 2 2 4a b  ，因为两条渐近线的夹角为60 ，所以渐近线的倾斜角为30 与150 或60 与120 ， 当倾斜角为30 与150 时，可知 3 3 b a  ，所以 3, 1a b  ，双曲线方程为 2 2 13 x y  ； 当倾斜角为60 与120 时，可知 3b a  ，所以 1, 3a b  ，双曲线方程为 2 2 13 yx   ． 9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成， 则该几何体的表面积等于（ ） A．48 8 B．48 4 C．64 8 D．64 4 9．答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是由一个半球和一个直四棱柱的组合体， 根据图中数据可知，表面积为 2 214 4 2 2 4 2 4 4 2 64 42              10．若将函数 2( ) cos (1 cos )(1 cos )f x x x x   图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函 数 ( )y g x 的图象，则函数 ( )y g x 的单调递减区间为（ ） A． ( )2 Zk k k        ， B． ( )2 Zk k k      ， C． 1 1 ( )8 4 4 Zk k k        ， D． 1 1 ( )4 8 4 Zk k k      ， 10．答案：A 解析：因为 2 2 2 21 1 1( ) cos (1 cos )(1 cos ) cos sin sin 2 cos 44 8 8f x x x x x x x x       ， 所以 1 1( ) cos 28 8g x x  ，所以当2 2 2 , Z≤ ≤k x k k    ，即 2 ,2 Z≤ ≤k x k k   时， ( )g x 单调递减，即 ( )g x 的单调递减区间是 ( )2 Zk k k        ， ． 11．已知函数 ( ) 2cosx xf x e e x   ，其中e 为自然对数的底数，则对任意aR ，下列不等式一定成立的是 （ ） A． 2( 1) (2 )≥f a f a B． 2( 1) (2 )≤f a f a C． 2( 1) ( 1)≥f a f a  D． 2( 1) ( )≤f a f a 11．答案：A 解析： ( )f x 是偶函数， ( ) 2sinx xf x e e x    ，且 (0) 0f   ，令 ( ) ( )h x f x ，则 ( ) 2cosx xh x e e x    ，当 [0, )x  时， ( ) 2cos 0≥x xh x e e x    恒成立， 所以 ( ) 2sinx xf x e e x    在[0, ) 上单调递增，所以 ( ) 0≥f x 在 [0, )x  上恒成立，所以 ( )f x 在 [0, ) 上单调递增，因为 2 1 2≥a a ，所以    2 1 2≥f a f a ，又因为 ( )f x 是偶函数， 所以 2( 1) (2 )≥f a f a 12．在 ABC△ 中， 90CAB   ， 1AC  ， 3AB  ．将 ABC△ 绕BC 旋转至另一位置P (点 A 转到点P )， 如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点． 若 3 2AE  ，则 AB 与平面 ADE 所成角的正弦值是（ ） A． 3 8 B． 3 6 C． 3 4 D． 3 3 12．答案：B 解析：因为 ,D E 分别是BC 和PC 的中点，所以 //DE PB ，又 90CPB CAB     ，所以DE PC ， 又 1 31, ,2 2AC CE AE   ，所以 AE PC ，所以PC  平面 ADE ，如图，延长ED 至F ，使得EF PB ， 连接BF ，则BF  平面 AED ，连接 AF ，则 BAF 为 AB 与平面 ADE 所成的角，所以 1 32sin 63 BFBAF AB    A B E C DF P 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.把答案填在答题卡上相应的位置. 13．若a  与b  的夹角为135 ， 1a  ， 2b   ，则 a b    __________. 13．答案：1 解析：  22 22 22 3 2 1 2 3 2 12a b a b a a b b                            ，所以 1a b    ． 14．已知数列 na 的前n 项和为 nS ， 1 1a  ， 1 2 ( )Nn nS S n     ，则 10a  . 14．答案：256 解析：因为 1 1 1a S  ， 1 2 ( )Nn nS S n     ，所以数列{ }nS 是公比为2 的等比数列，所以 12n nS  ， 所以 9 8 8 10 10 9 2 2 2 256a S S      ． 15．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3 3 方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不 同列，且不在3 3 方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种. 15．答案：24 解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列，和同一条对角线上， 则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示， 由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的 放法共有 3 34 24A  （种）． 16．已知 2 4( ) 1 ≤ x x x af x e x a      ， ， (其中 0a  ，e 为自然对数的底数)，若  ( ) ( )g x f f x 在R 上有三个不同的 零点，则a 的取值范围是___________. 16．答案：[ 2,0) 解析：令 ( )t f x ，所以 ( ) ( )g x f t ，  ( ) ( )g x f f x 在R 上要有三个不同的零点，则 ( ) 0f t  必有两解， 所以 2 0≤ a  ，所以 ( )f x 的大致图象如图所示，又 ( )f x 的零点为 1 20, 2x x   ，所以 ( ) 0f t  必有两个 零点，1 2t   和 2 0t  ，而 ≤x a 时， 2 min( ) 4f x a  ，所以要使 ( )y f t 的两个零点都存在，则 2 4 2≤a   ， 否则 1 2t   这个零点就不存在，故 2 2≤a ，所以 2 0≤ a  三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10 分) 已知等比数列{ }na 各项都是正数，其中 3 2 3 4 a a a a， ， 成等差数列， 5 32a  . (Ⅰ)求数列{ }na 的通项公式； (Ⅱ)记数列 2{log }na 的前n 项和为 nS ，求数列 1 nS       的前n 项和 nT . (17)(本小题满分10 分) (Ⅰ)设等比数列 na 的公比为q ，由已知得 2 3 3 4 5 2( ) 32 a a a a a      ， ， ，即 2 3 1 1 1 4 1 2 32. a q a q a q a q      ， ∵ 0na  ，∴ 0q  ，解得 1 2, 2. q a    ∴ 2n na  . ……………………5 分 (Ⅱ)由已知得， 2 1 2 2 2 ( 1)log log log 2n n n nS a a a      ， ∴ 1 2 1 12( 1) 1nS n n n n        ， ∴ 1 nS       的前n 项和 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 1 1n nT n n n                             .…………………10 分 18．(本小题满分12 分) 已知：在 ABC△ 中，a b c， ， 分别是角 A B C， ， 所对的边长， 0cos( ) cos a b A C A  . (Ⅰ)判断 ABC△ 的形状； (Ⅱ)若 6C  ， 6 2c   ，求 ABC△ 的面积． 18．解析：(Ⅰ) 0 0 cos coscos( ) cos cos cos a b a b a A b BA C A B A        ，∴sin 2 sin 2A B . ∵ A B， 是 ABC△ 的内角，∴ A B ，或 2A B   ， ∴ ABC△ 为等腰三角形或直角三角形. ………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及 6C  知， ABC△ 为等腰三角形，a b . 根据余弦定理 2 2 22 cosa b ab C c   ，得 2(2 3) 8 4 3a   ， 解得 2 4a  ，∴ 2a  ， ∴ ABC△ 的面积 1 1 1sin 2 2 12 2 2S ab C      . ……………………12 分 19．(本小题满分12 分) 统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017 年7 月与2017 年6 月相比. 同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017 年7 月与2016 年7 月相比. = 100%本期数－上期数环比增长率 上期数 ， = 100%本期数－同期数同比增长率 同期数 . 下表是某地区近17 个月来的消费者信心指数的统计数据： 序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 时间 2017 年 1 月 2017 年 2 月 2017 年 3 月 2017 年 4 月 2017 年 5 月 2017 年 6 月 2017 年 7 月 2017 年 8 月 消费者信 心指数 y 107.2 108.6 108.4 109.2 112.6 111 113.4 112 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2017 年 9 月 2017 年 10 月 2017 年 11 月 2017 年 12 月 2018 年 1 月 2018 年 2 月 2018 年 3 月 2018 年 4 月 2018 年 5 月 113.3 114.6 114.7 118.6 123.9 121.3 122.6 122.3 124 (Ⅰ)(ⅰ)求该地区2018 年5 月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； (ⅱ)除2017 年1 月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ (Ⅱ)由以上数据可判断，序号 x 与该地区消费者信心指数 y 具有线性相关关系，写出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ( ˆˆa b， 保留2 位小数)，并依此预测该地区2018 年6 月的消费者信心指数(结果保留1 位小数，参考数据 与公式： 17 1 18068i i i x y   ， 17 2 1 1785i i x   ， 9 115x y ， ， 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx         ) 19．解析：( )Ⅰ (ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124 112.6 100% 10%112.6    ； (ⅱ)由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017 年3 月、2017 年6 月、2017 年8 月、 2018 年2 月、2018 年4 月共5 个月的环比增长率为负数. ……………………5 分 (Ⅱ)由已知计算得： 17 1 17 2 2 1 ˆ 1.16 i i i i i x y n x y b x n x          ， ˆˆ 104.56a y bx   ， ∴线性回归方程为 ˆ 1.16 104.56y x  . 当 18x  时， ˆ 125.4y  ，即预测该地区2018 年6 月份消费者信心指数约为125.4. ……………12 分 20．(本小题满分12 分) 如图，矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， 60ABE   ，G 为BE 中点. (Ⅰ)求证：平面 ACG  平面BCE ； (Ⅱ)若 3AB BC ，求二面角B CA G  的余弦值. 20．解析：(Ⅰ)证明：∵平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，CB AB ，平面 ABCD  平面 ABEF AB ， ∴CB  平面 ABEF ，∴CB AG . 在菱形 ABEF 中， 60ABE   ，可知 ABE△ 为等边三角形，G 为BE 中点，∴ AG BE . ∵BE CB B ，∴ AG  平面BCE . ∵ AG  平面 ACG ，∴平面 ACG  平面BCE .…………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， AD  平面 ABEF ， AG BE ，∴ AG AF AD， ， 两两垂直，以 A 为原点，如图建立空间直角 坐标系. 设 2AB  ，则 2 3 3BC  ， 2 3(0,0,0), ( 3,0,0), 3 1 , ( 3, 1,0)3A G C B      ， ， . 设 ( , , )m x y z  为平面 ABC 的法向量，由 0 0 m AB m AC          得 3 0 2 33 03 x y x y z       ， 取 (1, 3,0)m   ，同理可求平面 ACG 的法向量 (0, 2, 3)n   ， ∴ 2 3 21cos 72 7 m nm n m n         ， ，即二面角B CA G  的余弦值等于 21 7 .……………12 分 21．(本小题满分12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b    经过点 (2,1)M ，且离心率 3 2e  . (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设 A B、 分别是椭圆C 的上顶点与右顶点，点P 是椭圆C 在第三象限内的一点，直线AP、BP 分别交x 轴、y 轴 于点M、N，求四边形AMNB 的面积. 21．解析(Ⅰ)由椭圆的离心率为 3 2 得， 3 2 c a  ，∴ 2a b . 又∵椭圆C 经过点(2,1) ，∴ 2 2 4 1 14b b  ，解得 2 2b  ， ∴椭圆C 的方程为 2 2 18 2 x y  . ……………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， (0, 2)A ， (2 2,0)B .设 0 0( , )P x y ，则 直线 0 0 2: 2yAP y xx   ，从而 0 0 2 0 2 xM y      ， ； 直线 0 0 : ( 2 2) 2 2 yBP y x x    ，从而 0 0 2 20 2 2 yN x      ， . ∴四边形 AMNB 的面积 0 0 0 0 2 2 21 1 2 2 22 2 2 2 2 y xS AN BM x y                    2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 2 2 2) 4 4 4 2 8 2 8 ( 2 2)( 2) 2 2 2 4 x y x y x y x y x y x y x y              . ∵ 2 2 0 0 18 2 x y  ，∴ 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 4 2 8 2 8 4 2 2 2 4 x y x yS x y x y         . …………………12 分 22．(本小题满分12 分) 已知 2(1 )( ) ax xf x e  (其中 Ra ，e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求 ( )f x 的单调区间； (Ⅱ)若 1 2x x， 分别是 ( )f x 的极大值点和极小值点，且 1 2x x ，求证： 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   . 22．解析：( )Ⅰ ⑴当 0a  时， 2( ) (1 )f x x  ， ( )f x 的单调增区间是( 1, )   ，单调减区间是( , 1)  ； ⑵当 0a  时， 2( 1) 1 ( ) ax a x x af x e            . ①当 0a  时，由 ( ) 0f x  解得 1x   或 2 1x a  ；由 ( ) 0f x  解得 2 1 1xa     ， ∴ ( )f x 的单调增区间是 2, 1a      和( 1, )  ，单调减区间是 2 1, 1a      ； ②当 0a  时，由 ( ) 0f x  解得 21 1x a    ；由 ( ) 0f x  解得 2 1x a  或 1x   ， ∴ ( )f x 的单调增区间是 21 1a      ， ，单调减区间是( 1) ， 和 2 1a       ， .………5 分 (Ⅱ)由已知和(Ⅰ)得，当 0a  时满足题意，此时 1 2 1x a  ， 2 1x   . 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   2 2 4 2 2 ae a a     2 24 2 2ae a a   2 22 0ae a a    . 令 2 2( ) 2 ( 0)ag a e a a a    ，则 2( ) 2 2 1ag a e a    . 令 2( ) 2 2 1 ( 0)ah a e a a    ，则 2( ) 2 2 0ah a e     恒成立， ∴ 2( ) 2 2 1( 0)ah a e a a    在(0, ) 上单调递增. ∵ 22 132 2 8 2 3 2 1 2 1 1 1(0) 1 0 2 08 4 4 2 2 h he e ee                             ， ， ∴ 0 30, 8a      ，使 0( ) 0h a  ，即  0 2 02 1 2 ae a    . 从而，当 0(0, )a a 时， ( ) 0g a  ；当 0( , )a a  时， ( ) 0g a  ， ∴ ( )g a 在 0(0, )a 上单调递减，在 0( , )a  上单调递增， ∴ 0 2 2 0 0 0( ) ( ) 2 ag a g a e a a  ≥ ，将 (*)式代入得 2 0 0 0( ) ( ) 3 1g a g a a a  ≥ . ∵ 2 0 03 1y a a   在 30, 8      上单调递减， ∴ 2 2 0 0 3 3 13 1 3 1 08 8 64a a            ， ∴ 0( ) ( ) 0≥g a g a  ，即 2 22 0ae a a    ， ∴ 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   . ……………………12 分